Courbe développante

En géométrie plane, une développante d'une courbe (C) est une courbe dont (C) est la développée. Une développante est le lieu de l'extrémité d'un fil qu'on enroule ou qu'on déroule sur la courbe (C).

L'une des développantes de la chaînette (C) (en bleu) est une tractrice (en rouge).

Construction de deux développantes (en rose) d'une parabole semi-cubique (en noir).

Définition

Si (C) est une courbe régulière et ${\displaystyle \gamma }$ son paramétrage par l'abscisse curviligne ${\displaystyle s}$, le vecteur tangent ${\displaystyle \gamma '(s)}$ est unitaire et les développantes de (C) sont données par :

${\displaystyle \theta (s)=\gamma (s)-\gamma '(s)(s_{0}+s).}$

Propriétés

Les développantes de (C) sont parallèles entre elles.

Si en un point, (C) présente un point d'inflexion, alors le point correspondant sur la développante sera un point de rebroussement de deuxième espèce^[1].

Exemples

Courbe	Point d'origine	Développante
cercle	quelconque	développante du cercle
point	quelconque	cercle
cycloïde	un de ses sommets	cycloïde, translatée
cardioïde	un de ses sommets	cardioïde semblable, de rapport 3
néphroïde	un de ses sommets	néphroïde semblable, de rapport 2
	un de ses points de rebroussement	sextique de Cayley
épicycloïde de paramètre q	un de ses sommets	épicycloïde semblable, de rapport (q + 2)/q
deltoïde	un de ses sommets	deltoïde semblable, de rapport 1/3
astroïde	un de ses sommets	astroïde semblable, de rapport 1/2 ou croix de Malte
hypocycloïde de paramètre q	un de ses sommets	hypocycloïde semblable, de rapport (q – 2)/q
spirale logarithmique	son centre	spirale logarithmique
chaînette	un de ses sommets	tractrice
parabole	un de ses sommets	développante sommitale de parabole
courbe logarithmique	quelconque	développante d'exponentielle
développante de cercle	un de ses points de rebroussement	spirale de Norwich

Voir aussi

Sur les autres projets Wikimedia :

• Courbe développante, sur Wikimedia Commons

• Développante du cercle
• Pendule cycloïdal
• Roulette (courbe)

Références

1. Guillaume François Antoine de L'Hospital, Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes, Paris, Imprimerie Royale, 1696

Liens externes

• (en) Eric W. Weisstein, « Involute », sur MathWorld

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