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La construction d'un pentagone régulier à la règle et au compas est une des premières constructions (après le triangle équilatéral et le carré) non triviale réalisable grâce aux axiomes d'Euclide.
La construction exacte d'un pentagone régulier fait intervenir le nombre d'or et surtout son pendant géométrique : le triangle d'or. Euclide propose une construction d'un pentagone régulier inscrit dans un cercle donné.
Mais d'autres méthodes de construction plus rapides existent[1], certaines sont exposées ci-dessous.
D'autres mathématiciens ou géomètres proposent aussi des constructions approchées réalisables avec un seul écartement de compas. C'est le cas par exemple d'Abu l-Wafa dans son Livre sur l’indispensable aux artisans en fait de construction (Xe siècle), ou de Mathias Roriczer dans sa Geometria deutsch (1486), construction reprise par Albrecht Dürer (1525).
Euclide construit[2] un pentagone régulier (équilatéral et équiangle) inscrit dans un cercle. Son élément de base est le triangle d'or : un triangle isocèle dont les angles avec la base sont doubles de l'angle au sommet[3] (et ainsi l'angle au sommet est le 5e de l'angle plat, 180/5 = 36).
Dans la figure jointe, I est le milieu de [AC], AC = AB, IB = ID, AD = AE = BF. Euclide démontre que le triangle ABF est un triangle d'or en utilisant des propriétés assez longues :
De nos jours, la démonstration est plus simple car si on note AC = 1, on obtient
Les dimensions du triangle ABF sont donc 1, 1 et . C'est bien un triangle d'or.
Euclide prouve qu'il peut construire un triangle d'or inscrit dans un cercle.
L'animation utilise la propriété suivante : dans le pentagone ABCDE ci-dessus, inscrit dans un cercle de rayon 1, on peut démontrer, en utilisant le théorème de Pythagore, que les côtés AC et AB ont pour longueurs respectives :
En effet, AC est un côté de l'angle droit dans le triangle rectangle AA'C, dont les deux autres dimensions sont 2 et .
Quant à DC, la présence d'angles droits dans le quadrilatère ACA'D permet d'affirmer que AA' × DC = 2 × AC × A'C
Dans l'animation présentée, les deux derniers cercles construits ont pour rayons AM et AN (voir figure ci-contre). Or AM est l'hypoténuse du triangle rectangle MOA dont les deux autres dimensions sont 1 et . Donc le théorème de Pythagore permet de prouver que AM correspond bien à la longueur AB.
Quant à AN, c'est l'hypoténuse du triangle rectangle ONA dont les autres dimensions sont 1 et donc AN correspond bien à la longueur AC.
On peut grandement simplifier la construction d'Euclide en conservant le même principe : construire des triangles d'or ou d'argent.
D, D1, D2, D3, D4 forment un pentagone régulier.
En effet, on vérifie que BOD2 est un triangle d'or et BOD1 un triangle d'argent (leurs bases valent respectivement R/φ et φR alors que leurs côtés valent R).
Démonstration :
Montrons que .
Le théorème de Pythagore dans le triangle AOJ donne AJ2 = (1/2)2 + 12.
Or AB = AJ (rayons du cercle bleu) et OB = AB - AO. D'où OB = AJ -(1/2), soit OB =, d'où le résultat puisque OC = 1/2 OB.
Démonstration : Si on appelle r le rayon du cercle inscrit, on peut démontrer grâce au théorème de Pythagore que . D'où il vient que où est le nombre d'or. Le triangle OEH est alors un triangle d'or et l'angle EOM vaut donc 72° (angle au centre dans un pentagone régulier).
Dans son livre Instructions pour la mesure, à la règle et au compas, des lignes, plans et corps solides, Albrecht Dürer propose cette construction qu'il estime exacte. L'intérêt de cette construction vient du fait de l'économie de moyens mis en œuvre : tous les cercles tracés ont le même rayon.
Cependant, le pentagone tracé est bien équilatéral mais il n'est pas équiangle : les angles de base font environ 108,35° au lieu des 108° attendus et l'angle au sommet fait un peu plus de 109°. Cette preuve est apportée par les géomètres Giovanni Battista Benedetti et Clavius. ( De fait l'angle BAE se décompose en un angle de 45˚ plus un angle KAE dont le cosinus est (3√2 -√6)/4 – K étant la projection orthogonale de A sur ME – ce qui donne pour la valeur de l'angle KAE, 63,36612˚, donnant pour l'angle du sommet A 108,36612˚ )
En s'inspirant de la construction de l'enneagone[4], on peut tracer une construction approchée d'un pentagone régulier, à la règle et au compas, selon la méthode identique à celle donnée pour l'heptagone.
Remarque : pour faire un pentagone comprenant le point B, il aurait fallu prendre le point F’.
Par cette construction, l'angle au centre AOG’’est d'environ 72,14 degré au lieu des 72 attendus, soit une erreur relative de 1,92 pour mille.
Cette méthode permet de faire n'importe quel polygone régulier. Il suffit de sectionner le segment CD en autant de secteurs identiques qu'il y a de côtés souhaités pour le polygone. Ensuite, on prend le troisième point en partant de C (G’), on trace le segment qui le relie à U et on obtient G’’ à l'intersection entre le cercle et ce segment (dans le demi-plan inférieur à XY). L'erreur commise sur l'angle au centre pour cette méthode varie de 1,92 pour mille à 11,7 pour mille selon le nombre de côtés.
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