Demi-droite

Une demi-droite est une portion de droite limitée d'un seul côté par un point : son origine.

Un exemple de demi-droite [AB) d'origine A.

Notation

Une demi-droite se note en mentionnant d'abord son origine, puis l'un des points par lesquels elle passe. Par exemple, la demi-droite [MN) a pour origine M et passe par N (et continue après N). On peut aussi nommer une direction de droite x et écrire [Mx) ou même ]Mx) si on veut exclure l’extrémité de la demi-droite (voir les notations des segments).

Une demi-droite dont on exclut l'origine est appelée demi-droite ouverte ; lorsque l'origine est incluse, on parle de demi-droite fermée.

Demi-droites d'un espace vectoriel réel et demi-droites d'un espace affine

Dans un espace vectoriel réel, E on définit d'abord la notion de demi-droite vectorielle: soit b un vecteur différent de 0 dans E; l'ensemble ${\displaystyle \Delta }$ des vecteurs ${\displaystyle \xi }$b tels que ${\displaystyle \xi }$ soit ${\displaystyle \geq 0}$ s'appelle la demi-droite vectorielle passant par b. Soit a un point de E; l'ensemble des a + ${\displaystyle {\text{x}}}$ où ${\displaystyle {\text{x}}}$${\displaystyle \in \Delta }$ s'appelle la demi-droite affine fermée d'origine a de direction ${\displaystyle \Delta }$^[1].

Dans R², demi-droite et demi-droite vectorielle associée

La définition dans un espace affine est similaire.

Notes et références

1. Jean Dieudonné, Algèbre linéaire et géométrie élémentaire, Hermann, 1964, p.47

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