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En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des catégories et en topologie algébrique, la notion de groupoïde généralise à la fois les notions de groupe, de relation d'équivalence sur un ensemble, et de l'action d'un groupe sur un ensemble. Elle a été initialement développée par Heinrich Brandt en 1927[1].
Les groupoïdes sont souvent utilisés pour représenter certaines informations sur des objets topologiques ou géométriques comme les variétés.
Un groupoïde est une petite catégorie dans laquelle tout morphisme est un isomorphisme.
Un groupoïde G est un ensemble muni de deux opérations : une loi de composition partiellement définie et une application (partout définie) , qui satisfont les trois conditions suivantes sur les éléments f, g et h de G :
On montre alors que :
À un groupoïde au sens des catégories, on peut associer le groupoïde au sens algébrique des (iso)morphismes de cette catégorie.
Réciproquement, si G est un groupoïde au sens algébrique, on peut lui associer un groupoïde au sens des catégories de la façon suivante. Les objets de la catégorie associée sont les lorsque varie (on remarque que ces éléments vérifient : ). L'ensemble des morphismes x→y, noté , est l'ensemble des h tels que est défini (cet ensemble pouvant être vide).
Les (petits) groupoïdes forment eux-mêmes une catégorie, les morphismes étant les foncteurs entre groupoïdes. Le groupoïde initial est le groupoïde vide et le groupoïde final est le groupe trivial.
Soit G un groupoïde, on définit la relation d'équivalence si G(x,y) est non vide. Elle définit un groupoïde quotient noté . définit un foncteur (composantes connexes) de la catégorie des groupoïdes vers la catégorie des ensembles.
Soient G un groupoïde et un objet de G (on dit aussi un point de G). La loi de composition entre les flèches de restreinte à ce sous-groupoïde est une loi de groupe. On note ce groupe.
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