Application semi-linéaire
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En algèbre linéaire, en particulier en géométrie projective, une application semi-linéaire entre les espaces vectoriels V et W sur un corps K est une fonction qui est une application linéaire « à torsion près », donc semi -linéaire, où « torsion » signifie « automorphisme de corps de K ». Explicitement, c'est une application T : V → W telle que :
- est additive par rapport à l'addition vectorielle : pour tous et de ;
- il existe un automorphisme de corps θ de K tel que , où est l'image du scalaire par l'automorphisme . Si un tel automorphisme existe et que T est non nul, il est unique ; on dit alors que T est θ-semi-linéaire.
Si les espaces de départ et d'arrivée de T coïncident (c'est-à-dire T : V → V ), on peut utiliser le terme de transformation semi-linéaire. Les transformations semi-linéaires inversibles d'un espace vectoriel V donné (pour tous les choix d'automorphisme de corps) forment un groupe, appelé groupe semi-linéaire général et noté par analogie avec et en prolongeant le groupe linéaire général. Le cas particulier où le corps est celui des nombres complexes ℂ et l'automorphisme est la conjugaison complexe, une application semi-linéaire est appelée une application antilinéaire.
Des notations similaires (en remplaçant les lettres latines par des grecques) sont utilisées pour les analogues semi-linéaires de transformations linéaires plus restreinte ; formellement, le produit semi-direct d'un groupe linéaire avec le groupe de Galois d'automorphismes de corps. Par exemple, PΣU est utilisé pour les analogues semi-linéaires du groupe unitaire spécial projectif PSU. Il faut cependant noter, même si cela n'a été établi que récemment, que ces groupes semi-linéaires généralisés ne sont pas bien définis, comme indiqué dans (Bray, Holt et Roney-Dougal 2009) : en effet, deux groupes classiques isomorphes G et H (sous-groupes de SL) peuvent avoir des extensions semi-linéaires non isomorphes. Au niveau des produits semi-directs, cela correspond à des actions différentes du groupe de Galois sur un groupe abstrait donné, vu qu'un produit semi-direct dépend de deux groupes et d'une action. Si l'extension n'est pas unique, il y a exactement deux extensions semi-linéaires ; par exemple, les groupes symplectiques ont une extension semi-linéaire unique, tandis que SU(n, q) a deux extensions si n est pair et q est impair, et de même pour PSU.