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anneau commutatif unitaire ne possédant pas de diviseur de zéro De Wikipédia, l'encyclopédie libre
Un anneau intègre ou anneau d'intégrité est un anneau commutatif unitaire différent de l'anneau nul et qui ne possède aucun diviseur de zéro.
Un anneau commutatif unitaire est dit intègre[1] s'il est
En pratique, travailler dans un anneau intègre permet de résoudre des équations produit-nul.
Un nombre limité de sources fournissent des définitions différentes des termes « Anneau intègre » ou « Anneau d'intégrité », soit qu'elles n'exigent pas la commutativité[2], soit qu'elles n'exigent pas la présence d'un neutre pour la multiplication[3], soit très exceptionnellement qu'elles n'exigent pas que l'anneau ait au moins deux éléments[4].
Le présent article, qui se borne au cas commutatif et unitaire n'aborde pas ces variantes ; on renvoie à l'article intitulé « Anneau sans diviseur de zéro » pour celle où la commutativité n'est pas requise.
En revanche :
Tout anneau intègre fini est un corps commutatif.
La démonstration repose sur une observation : la multiplication par un élément fixé non nul , qui est toujours injective dans un anneau intègre , est nécessairement aussi surjective quand l'anneau est fini, ce qui montre l'existence d'un inverse de .
Soit A un anneau intègre. Un procédé de passage au quotient sous une relation d'équivalence permet de construire un corps commutatif K(A) et une injection de A dans K(A). Cette construction fournit le plus petit corps dans lequel A se plonge, au sens de la propriété universelle suivante :
Pour tout corps L et tout morphisme injectif d'anneaux de A dans L, il existe un unique morphisme de corps de K(A) dans L tel que
Cette construction n'est que la réécriture en termes un peu plus abstraits de la construction du corps Q des nombres rationnels à partir de l'anneau Z des entiers relatifs. Appliquée à un anneau de polynômes formels, elle produit un corps de fractions rationnelles.
Les anneaux intègres forment un bon cadre pour généraliser des questions de divisibilté des entiers. On dit, pour deux éléments a, b d'un anneau commutatif A, que a divise b (dans A) s'il existe q dans A tel que aq = b (on a des formulations équivalentes « a est diviseur de b », « b est divisible par a », et « b est multiple de a »). Ce qui est particulier pour les anneaux intègres est que dans ce cas, si un élément non nul a divise b, alors l'élément q (le quotient) est toujours unique, et peut donc être noté q = b/a : si l'on suppose aq = b = ap, alors a(q − p) = 0, et donc q = p car a ≠ 0. En d'autres termes, tout élément non nul de A est régulier.
La structure donnée par la divisibilité dans un anneau intègre peut être beaucoup plus compliquée que dans , ce qui mène à distinguer un certain nombre de propriétés et relations.
Les trois définitions qui suivent isolent des propriétés arithmétiques remarquables de l'anneau Z des entiers relatifs, et sont utilisées pour délimiter trois classes d'anneaux commutatifs dans lesquels l'arithmétique ressemble de plus ou moins près à celle des entiers.
Ce sont les anneaux dans lesquels on dispose d'une décomposition qui imite la décomposition en facteurs premiers des entiers naturels non nuls.
On appelle anneau factoriel un anneau intègre dans lequel tous les éléments non nuls se décomposent de manière unique (à l'ordre et aux facteurs inversibles près) en produit d'éléments irréductibles[5].
Si A est un anneau factoriel, l'anneau de polynômes A[X] l'est également. Par application répétée de cette construction à un corps commutatif k, évidemment factoriel, les anneaux de polynômes à plusieurs indéterminées k[X1,...,Xn] sont en particulier factoriels[6].
Tant en théorie algébrique des nombres qu'en géométrie algébrique, des anneaux non factoriels se manifestent même à un niveau élémentaire[5] : ainsi l'anneau d'entiers quadratiques Z[i√5] n'est pas factoriel ; il en est de même de l'anneau quotient de k[X,Y] par l'idéal engendré par X2 – Y3.
Dans cette section, on note (x1, x2,..., xn) l'idéal engendré par x1, x2,..., xn.
Dans cette classe d'anneaux plus restreinte, on dispose non seulement de la décomposition en facteurs premiers mais aussi de l'identité de Bézout.
Un idéal I d'un anneau commutatif A est dit principal lorsqu'il existe un a élément de A tel que I = (a). On appelle anneau principal un anneau intègre dans lequel tout idéal est principal.
Tout anneau principal est factoriel. La réciproque n'est pas vraie : ainsi l'anneau factoriel de polynômes k[X,Y] n'est pas principal — il est en effet impossible de trouver un polynôme à deux variables P tel que (X, Y) = (P).
Dans un anneau principal[5], comme dans tout anneau factoriel, deux éléments a et b admettent toujours un PGCD noté ici d, mais on a davantage : la principalité garantit l'existence de x et y tels que d = ax + by.
Dans cette classe d'anneaux, on a une structure similaire à celle donnée par la division euclidienne dans Z : pour toute division par un élément non nul, il existe un quotient et un reste, où le reste est toujours plus petit dans un sens précis que le diviseur. Si ce quotient et ce reste peuvent être déterminés par un algorithme de division (comme c'est le cas souvent), on pourra effectuer l'algorithme d'Euclide dans A en utilisant cette division. Tout anneau euclidien est principal, et c'est la façon la plus simple de prouver que certains anneaux sont principaux ; c'est notamment le cas de Z, et de tout anneau de polynômes à une indéterminée à coefficients dans un corps. Néanmoins, il existe des anneaux principaux qui ne sont pas euclidiens.
Dans un anneau intègre A contenant un sous-anneau B, un élément x ∈ A est dit entier sur B s'il est racine d'un polynôme unitaire à coefficient dans B.
Dans un anneau intègre A contenant un sous-anneau B, la fermeture intégrale de B dans A est l'ensemble des éléments de A entiers sur B. C'est un sous-anneau de A contenant B comme sous-anneau. Un anneau intégralement clos est un anneau intègre égal à sa fermeture intégrale dans son corps des fractions.
Un anneau de Dedekind est, par définition, un anneau noethérien intégralement clos dans lequel tout idéal premier non nul est maximal.
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