Yksikkömurtoluku

Yksikkömurtoluku on murtoluku, jonka osoittajana on luku yksi. Yleisin syy muodostaa yksikkömurtoluku on ottaa kokonaisluvusta käänteisluku:

${\displaystyle a\rightarrow {\tfrac {1}{a}}.}$

Tämän vuoksi yksikkömurtoluvun käänteisluku on kokonaisluku. Luvulla viisi

${\displaystyle 5\rightarrow {\tfrac {1}{5}}.}$

Yksikkömurtoluvuilla laskeminen ja murtolukujen esittäminen niiden avulla on hankalaa. Tämä lienee perussyy muinaisten egyptiläisten matematiikan heikolle tasolle. ^[1][2]

Ominaisuuksia

Jokainen murtoluku voidaan ilmaista yksikkömurtolukujen summana tai erotuksena. Tämä koskee myös yksikkömurtolukuja. Esimerkiksi

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}={\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{6}}\qquad {\mbox{tai}}\qquad {\tfrac {1}{20}}={\tfrac {1}{4}}-{\tfrac {1}{5}},}$

josta viimeinen on yleisesti ${\displaystyle {\tfrac {1}{n}}-{\tfrac {1}{n+1}}={\tfrac {1}{n(n+1)}}.}$

Merkitys matematiikassa

Yksikkömurtoluvut eli käänteisluvut ovat tärkeitä lukuteoriassa, jossa lukujonojen teorian tulokset todistettiin aluksi näiden ominaisuuksien avulla. Kuuluisa on niin sanottu harmoninen sarja, jonka summa kasvaa äärettömän suureksi eli sarja^[3] hajaantuu ^[4]:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}=\infty }$

Sen sijaan neliölukujen käänteislukujen sarja suppenee ^[3]:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}=2.}$

Matemaattisessa analyysissä on esitelty yksinkertainen käänteislukufunktio ^[5]: ${\displaystyle f:\mathbb {R} \smallsetminus \{0\}\rightarrow \mathbb {R} ,}$ kun ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}$.

Historiaa

Yksikkömurtoluvut olivat Lähi-idän muinaisissa korkeakulttuurien kirjanpitäjien, tiedemiesten ja papiston osamaa laskentoa. Murtolukulaskennassa käytettiin murtolukuina vain yksikkömurtolukuja, ja tapa periytyi kreikkalaisille ja arabeille sekä intialaisille, jotka kehittivät merkintöjä eteenpäin varsin myöhään. Yleiset murtoluvut yleistyivät vasta keskiajan jälkeen. ^[6]

Lähteet

• Boyer, Carl: Tieteiden kuningatar – Matematiikan historia osa I ja II. Suomentanut Pietiläinen, Kimmo. Helsinki: Art House, 1994. ISBN 951-884-159-4

Viitteet

1. Maths Year 7: Muinaisen Egyptin matematiikkaa (Arkistoitu – Internet Archive)
2. KELLY DE ROECK: [ANCIENT EGYPT http://mathsforeurope.digibel.be/story.htm (Arkistoitu – Internet Archive)]
3. Weisstein, Eric W.: Series (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
4. Weisstein, Eric W.: Harmonic Series (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
5. Singleton, Robert P. & Weisstein, Eric W.: Reciprocal (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
6. Boyer, Carl: Tieteiden kuningatar