Neutraalialkio

Joukon ${\displaystyle S}$ alkio ${\displaystyle e}$ on neutraalialkio eli identiteetti jonkin joukossa määritellyn binäärioperaation ${\displaystyle *}$ suhteen, jos ${\displaystyle e*a=a}$ ja ${\displaystyle a*e=a}$ kaikilla ${\displaystyle a\in S}$.^[1] Neutraalialkio ei siis "muuta" toista alkiota tässä operaatiossa.^[2] Neutraalialkio on yksikäsitteinen (jos se on olemassa).^[3]

Esimerkiksi reaalilukujen (samoin kokonaislukujen ja rationaalilukujen) yhteenlaskun neutraalialkio on 0 ja kertolaskun 1. Tietynkokoisten neliömatriisien matriisikertolaskun neutraalialkio on identiteettimatriisi. Jos S on parillisten lukujen joukko, sillä ei ole neutraalialkiota kertolaskun suhteen (ei edes oikeaa eikä vasenta).

Vasen neutraalialkio toteuttaa ehdon ${\displaystyle e*a=a}$ ja oikea neutraalialkio ehdon ${\displaystyle a*e=a}$ kaikilla ${\displaystyle a\in S}$. Jos binäärioperaatiolle on olemassa sekä vasen että oikea neutraalialkio, ne ovat yksikäsitteisiä ja samat (siis kaksipuolinen neutraalialkio eli neutraalialkio).^[3]

Kertolaskun neutraalialkiota kutsutaan joskus ykkösalkioksi ja yhteenlaskun neutraalialkiota nolla-alkioksi.^[2] Yksikkö saattaa tarkoittaa mitä tahansa kääntyvää alkiota (kertolaskun suhteen).^[4]

Kirjain ${\displaystyle e}$ tulee saksankielisestä sanasta Einheit.^[5]

Formaalinen määritelmä ja nimityksiä

Olkoon operaatio ${\displaystyle *}$ joukossa ${\displaystyle S}$ määritelty binäärioperaatio (eli ${\displaystyle *:S\times S\rightarrow S}$).

Joukon ${\displaystyle S}$ alkio ${\displaystyle e}$ on vasemmanpuoleinen neutraalialkio, jos ${\displaystyle e*a=a}$ kaikilla joukkoon kuuluvilla alkioilla ${\displaystyle a}$. Samoin, jos ${\displaystyle a*e=a}$ kaikilla joukkoon ${\displaystyle S}$ kuuluvilla alkioilla ${\displaystyle a}$, on ${\displaystyle e}$ oikeanpuoleinen neutraalialkio. ^[2]

Jos ${\displaystyle e}$ on sekä vasemman- että oikeanpuoleinen neutraalialkio eli ${\displaystyle a*e=e*a=e}$ kaikilla ${\displaystyle a\in S}$, sitä kutsutaan neutraalialkioksi.^[2] Tällöin pari ${\displaystyle (S,*)}$ on monoidi, jos lisäksi ${\displaystyle *}$ on assosiatiivinen.^[6]

Esimerkkejä

Neutraalialkioita voi olla useitakin ellei peräti äärettömän monta. Määritelkäämme vallan erikoinen laskutoimitus ${\displaystyle \star }$ seuraavasti: ${\displaystyle \star$ :\mathbb {R} \times \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,} missä ${\displaystyle a\star b=a\ {\mbox{kun}}\ a,b\in \mathbb {R} .}$ Tällöin mikä tahansa reaaliluku, esimerkiksi luku 2, on oikeanpuoleinen neutraalialkio, koska määritelmän mukaan ${\displaystyle a\star 2=a.}$ Sen sijaan vasenmmanpuoleista neutraalialkiota ei ole. Määrittelemällä ${\displaystyle a\star b=b}$ on tilanne päinvastainen. ^[7]

Joskus neutraalialkioita ei ole olemassa. Jos lukujoukko koostuu luonnollisista luvuista ${\displaystyle \{2,3,4,5,...\}}$, ei ole olemassa neutraalialkiota tavallisella kertolaskulla (koska luku 1 puuttuu). Samoin käy parille ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,\heartsuit )}$, kun laskutoimitus määritellään ${\displaystyle a\heartsuit b=1+a\cdot b.}$^[7]

Määriteltäköön reaaliluvuille laskutoimitus ${\displaystyle \circledcirc }$, jossa ${\displaystyle a\circledcirc b=a+b-1.}$ Luku yksi on tämän laskutoimituksen vasemman- ja oikeanpuoleinen neutraalialkio, sillä ${\displaystyle a\circledcirc 1=a+1-1=a}$ ja ${\displaystyle 1\circledcirc b=1+b-1=b.}$ ^[7]

Vaikka e olisi joukon S operaation * neutraalialkio, voi olla olemassa S:n osajoukko T, johon e ei kuulu ja joka on silti suljettu operaation * suhteen neutraalialkionaan jokin toinen alkio f. Itse asiassa S ja T voivat olla jopa ykkösellisiä renkaita samoilla operaatioilla.^[2]

Muita esimerkkejä

joukko	binäärioperaattori	neutraalialkio
reaaliluvut	yhteenlasku ( + )	0 [8]
reaaliluvut	kertolasku ( · )	1 [9]
vektorit	yhteenlasku ( + )	nollavektori
n x n neliömatriisi	yhteenlasku ( + )	nollamatriisi [8]
n x n neliömatriisi	kertolasku ( · )	yksikkömatriisi [9]
kaikki funktiot joukosta M itseensä	yhdistetty funktio ( o )	identiteettifunktio
merkkijonot	yhdistäminen	tyhjä merkkijono
vain kaksi alkiota {e, f}	* määritelty niin että e * e = f * e = e ja f * f = e * f = f	e ja f ovat molemmat vasemmanpuoleisia neutraalialkioita, mutta ei ole olemassa oikean- tai molemmanpuoleista neutraalialkiota.

Kuten viimeinen esimerkki näyttää, on mahdollista että (S,×):lla on useampi kuin yksi vasemmanpuoleinen identiteetti. Samoin voi olla olemassa useita oikeanpuoleisia identiteettejä. Mutta jos joukossa on olemassa sekä oikeanpuoleinen ja vasemmanpuoleinen identiteetti, ne ovat yhteneviä ja onkin oikeastaan olemassa vain yksi molemmanpuoleinen identiteetti. Tämän todistamiseksi merkitään vasenta identiteettiä v:llä ja oikeaa o:lla. Tällöin v = v × o = o. Tästä seuraa myös, ettei ryhmällä voi olla useampia kuin yksi molemmanpuoleinen identiteetti.

Neutraalialkio ja käänteisalkio

Luvun ${\displaystyle a}$ käänteisalkio ${\displaystyle b}$ ovat lukuja, jotka muodostavat laskutoimituksessa neutraalialkion ${\displaystyle e}$ eli ${\displaystyle a*b=e}$. Jos parilla ${\displaystyle (S,*)}$ on vain yksi neutraalialkio, on jokaisella muulla luvulla yksikäsitteinen käänteisalkio. ^[7]

Katso myös

• Käänteisalkio
• Magma, Monoidi ja Ryhmä

Lähteet

1. Häsä, Jokke & Rämö, Johanna: Johdatus abstraktiin algebraan, s. 35–36. Helsinki: Gaudeamus, 2015. ISBN 978-952-495-361-0
2. Häsä, Jokke: Algebra II (pdf) (Luku 0: Kertausta (luentomoniste)) 2010. Helsinki: Helsingin yliopisto. Arkistoitu 5.1.2012.
3. Jouni Parkkonen: Renkaat ja kunnat (sivut 4-5) 12.1.2021. Jyväskylän yliopisto.
4. Jokke Häsä: Algebra II (sivu 5: 0\ne 1) kevät 2010. Helsingin yliopisto.
5. Weisstein, Eric W.: Identity Element (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
6. Weisstein, Eric W.: Monoid (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
7. Dr. Marcel B. Finan: MATH 4033: Elementary Modern Algebra (pdf) (Luku 3. Binary operations (luento)) Arkansas: Arkansas Tech University. Arkistoitu 4.4.2015. (englanniksi)
8. Barile, Margherita: Additive Identity (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
9. Barile, Margherita: Multiplicative Identity (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)

Aiheesta muualla

• Turunen, Esko: MAT–41150 Algebra 1(s)^{[vanhentunut linkki]}
• PlanetMath: Grupoid^{[vanhentunut linkki]}
• Dr. Claire Wladis: The Identity Property
• Ray Mayer’s notes: Binary operations on sets (Arkistoitu – Internet Archive)