Tangentiaalinen nelikulmio eli ympyrän ympäri piirretty nelikulmio on geometriassanelikulmio, jonka jokainen sivu sivuaa sisään piirrettyä ympyrää. Ympyrää voidaan kutsua nelikulmion sisäympyräksi ja sivuja ympyrän tangenteiksi tai tangenttijanoiksi.[1][2]
Nimitys tangentiaalinen nelikulmio on suora käännös sanoista engl.tangential quadrilateral.[1]
Jos merkitään puolipiiriä eli nelikulmion piirin puolikasta missä neljä lukua ovat sivujen pituuksia, voidaan tangentiaaliselle nelikulmiolle kirjoittaa eli vastakkaisten sivujen yhteispituus on puolet piiristä.[1][2] Tämä pätee laajemminkin. Suora, joka kulkee sisäympyrän keskipisteen kautta jakaa piirin, ja myös pinta-alan, kahteen yhtäsuureen osaan.[3]
Sisäympyrän keskipiste sijaitsee yhtä kaukana nelikulmion sivuista. Kulmanpuolittajat leikkaavat kaikki toisensa sisäympyrän keskipisteessä.[3]
Viereisten kulmien puolikkaiden tangenttien tulo on aina 1, joten esimerkiksi ja [2]
Lävistäjien eri puolille syntyviin kolmioihin piirretyt sisäympyrät ovat tangentiaalisia myös toisilleen.[3]
Tällaisen nelikulmion pinta-ala on [1] missä on sisäympyrän säde.
Neliö on säännöllinen nelikulmio, joten sen sivut ovat saman pituiset ja sen kulmat ovat yhtä suuret (suorat kulmat 90°). Ympyrä sivuaa neliön kulmaa sivun keskikohdasta ja siksi myös sisäympyrän säde r on puolet sivun pituudesta. Tätä etäisyyttä kutsutaan myös apoteemaksi kuten muissakin säännöllisissä monikulmioissa. Sisäympyrän keskipisteestä piirretyt säteet puolittavat neliön kulman. Neliön lävistäjä on samalla neliöä ympäröivän ympyrän halkaisija, jolloin ulkoympyrän säde R on puolet lävistäjästä. Kun sivun pituus on a, saadaan
Neljäkäs on tasasivuinen nelikulmainen suunnikas, jonka kulmat eivät ole neliön tapaan suorat. Vastakkaiset kulmat ovat aina samansuuruiset ja vierekkäiset kulmat α ja β ovat toistensa komplementtikulmat eli . Laskuissa tullaan käyttämään näiden kulmien puolikkaita, joten eli .
Jos päätetään aluksi kulma , voidaan muut parametrit löaske seuraavasti. Neljäkkään sisäympyrä sivuaa sen kaikkia sivuja samalla tavalla niin, että sivuamispisteet osittavat ne kahdeksi eripituiseksi tangenttijanaksi. Sivun AB tangenttijanat ovat AJ = tA ja JB = tB, jotka yhdessä muodostavat neljäkkään sivun
Tangenttijanojen pituudet voidaan määrittä, kun säde tunnetaan. Se saadaan sivun pituudesta
eli
.
Toisaalta, jos päätetään aluksi tangenttijanojen pituudet, voidaan niiden avulla laskea muut parametrit. Neljäkkään sisäympyrän generoivan polynomin kertoimet ovat [7]
Hajja, Mowaffaq:A Condition for a Circumscriptible Quadrilateral to be Cyclic.Forum Geometricorum, 2008, nro 8, s. 103–106. ISSN 1534-1178.Artikkelin verkkoversio(pdf).Viitattu 23.9.2013. (englanniksi)
Andreescu, Titu & Enescu, Bogdan:Mathematical Olympiad Treasures, s. 64–68. kappale 2.7 Quadrilaterals with an inscribed circle. Springer, 2004. Teoksen verkkoversio(Google-book)(viitattu 23.9.2013).