Paralleeliaksiooma

Paralleeliaksiooma, paralleelipostulaatti eli yhdensuuntaisaksiooma on euklidisen geometrian aksiooma. Sen mukaan:

Annetun suoran ulkopuolella olevan pisteen kautta kulkee aina yksi ja vain yksi annetun suoran kanssa yhdensuuntainen suora, toisin sanoen sellainen suora, joka kuuluu samaan tasoon mutta ei leikkaa annettua suoraa.

Paralleeliaksiooma Eukleideen esittämässä muodossa: jos suora leikkaa kaksi muuta suoraa siten, että sisäpuolisten, leikkaajan samalla puolella olevien kulmien summa on vähemmän kuin kaksi suoraa kulmaa, nämä kaksi suoraa leikkaavat toisensa sillä puolella.

Loogisesti yhtäpitäviä muotoiluja

Aksiooma voidaan esittää monessa keskenään loogisesti yhtäpitävässä muodossa. Edellä esitetty muotoilu tunnetaan myös nimellä Playfairin aksiooma, skotlantilaisen matemaatikon John Playfairin mukaan. Euklideen alkuperäisessä teoksessa aksiooma oli kuitenkin muotoiltu näin:

Jos suora leikkaa kaksi muuta suoraa siten, että sisäpuolisten, leikkaajan samalla puolella olevien kulmien summa on vähemmän kuin kaksi suoraa kulmaa, siinä tapauksessa nämä kaksi suoraa riittävän kauas jatkettuina leikkaavat myös toisensa sillä puolella, jossa sanottujen kulmien summa on pienempi kuin kaksi suoraa kulmaa.

Voidaan osoittaa, että nämä kaksi muotoilua ovat keskenään yhtäpitävät.

Aikojen kuluessa useat matemaatikot yrittivät selvittää, voitaisiinko paralleeliaksiooma todistaa geometrian muiden aksioomien avulla. Osoittautui kuitenkin, että jokaisessa sellaisessa yrityksessä käytettiin, tietoisesti tai tiedostamatta, hyväksi jotakin olettamusta, joka on yhtäpitävä paralleelipostulaatin kanssa ja jota ei ilman sitä voida todistaa pelkästään Eukleideen muiden aksioomien avulla. Tällaisia olettamuksia, jotka näin ollen voitaisiin käsittää myös paralleeliaksiooman vaihtoehtoisiksi muotoiluiksi, ovat esimerkiksi seuraavat:

1. Jokaisen kolmion kulmien summa on 180°.
2. On olemassa kolmio, jonka kulmien summa on 180°.
3. Kaikilla kolmioilla kulmien summa on sama.
4. On olemassa kolmioita, jotka ovat yhdenmuotoisia, mutta eivät yhteneviä.
5. Jokaisen kolmion ympäri voidaan piirtää ympyrä.
6. Jos suunnikkaan kulmista kolme on suoria kulmia, neljäskin on.
7. On olemassa nelikulmio, jonka kaikki kulmat ovat suoria.
8. On olemassa kaksi suoraa, joiden keskinäinen etäisyys on vakio.
9. Jos kaksi suoraa kumpikin ovat yhdensuuntaisia erään kolmannen suoran kanssa, ne ovat myös keskenään yhdensuuntaisia.
10. Jos suora leikkaa toisen kahdesta yhdensuuntaisesta suorasta ja on molempien kanssa samassa tasossa, se leikkaa toisenkin.
11. Suorakulmaisessa kolmiossa hypotenuusan neliö on yhtä suuri kuin muiden sivujen neliöiden summa (Pythagoraan lause).
12. Kolmion pinta-alalla ei ole ylärajaa.^[1]
13. Jos nelikulmiossa kaksi vierekkäistä kulmaa on suoria ja niistä alkavat kaksi vastakkaista sivua yhtä pitkiä, sen kaikki kulmat ovat suoria (Saccherin nelikulmio).

Lopulta 1800-luvulla kuitenkin osoitettiin, että se on loogisesti muista aksioomista riippumaton. Onkin kehitetty myös epäeuklidinen geometria, jossa paralleeliaksiooma ei ole voimassa.

Lähteet

1. http://www.cut-the-knot.com/triangle/pythpar/Fifth.shtml (Arkistoitu – Internet Archive)