Pinta-ala

Pinta-ala (myös ala, tunnus A^[1]; lyhenne yleiskielessä pa.^[2]) on pinnan tai alueen koon mitta. Yksinkertaisimmillaan pinta-ala on jonkin suorilla rajatun tasokuvion ala, jolloin se on yleensä varsin yksinkertaisesti laskettavissa. Mikäli tasokuvion rajat ovat kaarevia, voi sen pinta-alan laskea integraalilaskennan avulla, mikäli rajakäyrät voidaan esittää matemaattisina funktioina. Tasokuvioiden lisäksi pinta-ala voidaan määrittää myös kolmiulotteisille kappaleille.

Erilaisille geometrisille tasokuvioille, kuten neliölle tai ympyrälle, on olemassa omat kaavat niiden pinta-alan laskemiseen; esimerkiksi suorakulmion pinta-ala on sen pituuden ja leveyden tulo. Mielivaltaisen monikulmion kuvion pinta-ala voidaan selvittää jakamalla se geometrisiin peruskuvioihin, esimerkiksi kolmioihin, ja laskemalla pinta-ala osakuvioiden pinta-alojen summana. Vastaavasti tasoista koostuvan monitahokkaan pinta-ala voidaan laskea tahkojen pinta-alojen summana. Tietyille kaarevia pintoja sisältäville kolmiulotteisille kappaleille, kuten pallolle ja kartiolle, on olemassa omat kaavat pinta-alan laskemiseen; esimerkiksi pallon pinta-ala on neljä kertaa pii kerrottuna pallon säteen neliöllä (4πr²). Tietynlaisten kaarevapintaisten kappaleiden pinta-alat voidaan laskea myös integraalilaskennan avulla, kuten pyörähdyskappaleiden pinta-alat.

Pinta-alan suoraan mittaamiseen on ennen käytetty planimetriä.

Yksiköitä

Pinta-alan SI-yksikkö on neliömetri (m²). Yksi neliömetri on sellaisen neliön pinta-ala, jonka sivun pituus on metri. Isompiin alueisiin käytetään usein neliökilometriä (km²), joka on miljoona neliömetriä. Neliömetriä pienempiä yksiköitä ovat:

• neliödesimetri (1 dm² = 0,01 m²),
• neliösenttimetri (1 cm² = 0,01 dm²) ja
• neliömillimetri (1 mm² = 0,01 cm²).

Neliömillimetri on miljoonasosa neliömetriä.

Viljelysmaata ja metsää mitataan toisinaan aareina (1 a = 100 m²), yleisemmin kuitenkin hehtaareina (1 ha = 100 a = 0,01 km² tai 10 000 m²).

Isossa-Britanniassa ja Yhdysvalloissa vanhastaan käytettyjä pinta-alojen yksiköitä ovat sikäläisten pituusmittojen neliöt, kuten neliöjalka, neliöjaardi ja neliömaili. Näiden ohella käytetään pinta-alan yksikkönä eekkeriä, joka on 4 840 neliöjaardia eli 4 046,856 422 4 m².

Suomessa pinta-aloja mitattiin ennen metrijärjestelmän käyttöönottoa muun muassa tynnyrinaloina ja kapanaloina.

Yksikkömuunnoksia

Kun neliön sivu kaksinkertaistuu, sen pinta-ala nelinkertaistuu (2² = 4). Yleisemmin: kun tiedetään pituusyksikköjen suhde, saadaan sen toisena potenssina vastaavien pinta-alayksiköiden suhde. Kun esimerkiksi yksi maili on 1,609 344 kilometriä, on vastaavasti yksi neliömaili 1,609 334² ≈ 2,589 988 neliökilometriä.

Pinta-alojen yksikkömuunnoksissa etuliitteiden käsittelyä helpottaa, kun ajattelee, että toiseen potenssiin korotusmerkki koskee myös etuliitettä^[3]:

${\displaystyle {\rm {cm^{2}=(cm)^{2}=c^{2}m^{2}=(10^{-2})^{2}m^{2}=10^{-4}m^{2}=0,\!0001\,m^{2}}}}$

Tämä on vähemmän virhealtista kuin pilkun siirtely päässälaskuna. Menetelmä toimii myös tilavuusyksiköiden käsittelyssä.

Kaavoja

Joitain yleisiä kaavoja kaksiulotteisten kappaleiden pinta-alan (A) määrittämiseen:

• Neliö tai muu suorakulmio: A = l · w (jossa l on pituus ja w on leveys); neliön tapauksessa l = w.
• Ympyrä: A = π · r² (jossa r on säde)
• Kolmio: A = B · h / 2 (jossa B on kannan pituus ja h on korkeus). Kolmioiden pinta-alat voidaan laskea myös Heronin kaavalla ${\displaystyle {\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}$, jossa a, b ja c ovat kolmion sivujen pituudet ja s = (a + b + c)/2 eli puolet kolmion piiristä.

Joidenkin kolmiulotteisten kappaleiden pinta-alojen laskukaavoja:

• Pallo: A = 4·π·r², missä r on pallon säde
• Pallokalotin pinta-ala: A = 2·π·r·h, missä r on pallon säde ja h on pallokalotin korkeus.
• Sylinterin kokonaispinta-ala: A = 2 · π · r · (h + r), missä r on sylinterin pohjan säde ja h on sylinterin korkeus.

Poikkipinta-ala

Poikkipinta-alalla tarkoitetaan katkaistun kappaleen katkaisupinnan pinta-alaa. Poikkipinta-alaa käytetään esim. sähköjohtojen paksuuden mittana.

Pinta-alat rakentamisessa ja maanmittauksessa

Rakentamisessa käytetään useita keskenään erilaisia pinta-alamäärityksiä: esimerkiksi huoneala (hum), huoneistoala (htm), kerrosala (kem) ja rakennusala. Asunnon ja tonttien pinta-aloja laskettaessa käytetään myös käsitettä jyvitetty pinta-ala, tai lyhennettynä jm2.

Katso myös

• Luettelo valtioista pinta-alan mukaan
• Vanhat suomalaiset pinta-alan mittayksiköt
• Rakennuksen pinta-ala

Lähteet

1. SI-opas (myös painettuna, ISBN 952-5420-93-0) (PDF) (Sivu 13.) SFS-oppaat. 4.11.2002. Suomen Standardoimisliitto. Viitattu 16.7.2014.
2. Lyhenneluettelo 25.4.2013. Kotimaisten kielten keskus. Viitattu 23.6.2013.
3. Vesa Linja-aho: Järkeä pinta-ala- ja tilavuusyksiköiden käsittelyyn Matematiikkalehti Solmu. 3/2014. Helsingin yliopiston matematiikan ja tilastotieteen laitos.

Aiheesta muualla

• Pinta-alamuunnin