Numeroituvuusaksiooma

Numeroituvuusaksioomat ovat eräiden topologisen avaruuksien ominaisuuksia, joihin liittyy käsite numeroituvuus. Aksioomia on neljä kappaletta:

Olkoon X topologinen avaruus. Tällöin X on

• N₁, jos jokaisella X:n alkiolla x on numeroituva ympäristökanta.^[1]
• N₂, jos X:llä on numeroituva kanta.^[1]
• Lindelöfin avaruus, jos X:n jokaisella avoimella peitteellä on numeroituva osapeite.^[2]
• Separoituva, jos se sisältää numeroituvan tiheän pistejoukon.^[2]

Ominaisuuksia

• Jokainen N₂-avaruus on N₁.^[1]
• N₁ ja N₂ ovat perinnöllisiä ominaisuuksia, eli jos avaruudella on jompikumpi näistä ominaisuuksista, se on myös niiden kaikilla osajoukoilla. Lisäksi ne säilyvät numeroituvissa tuloissa.^[3]
• Jokainen N₂-avaruus on Lindelöf-avaruus.^[2]
• Jokainen N₂-avaruus on separoituva.^[2]

Metrisellä avaruudella X N₁, N₂, Lindelöf ja separoituvuus ovat yhtäpitäviä ominaisuuksia. Säännöllinen Lindelöf-avaruus on aina normaali.^[4]

Yleisemmin aksioomien välillä siis pätee alla olevat riippuvuudet eikä niiden välillä ole muita relaatioita.^lähde?

${\displaystyle {\begin{aligned}N_{1}\Leftarrow \ &N_{2}\Rightarrow separoituva\\&\Downarrow &\ \\Li&ndel{\ddot {o}}f\end{aligned}}}$

Lähteet

1. Jussi Väisälä: Topologia II, s. 47. Limes ry, 1981. ISBN 951-745-082-6
2. Jussila, s. 50
3. Jussila, s. 48–49
4. Jussila, s. 51

Kirjallisuutta

• Lipschutz, Seymour: General Topology. McGraw-Hill, 1965. ISBN 0-07-037988-2