Navierin–Stokesin yhtälöt

Navierin–Stokesin yhtälöt ovat joukko yhtälöitä, jotka kuvaavat fluidien eli nesteiden ja kaasujen liikettä. Yhtälöt kertovat, että muutokset fluidiosasen liikemäärässä johtuvat paineen ja fluidin sisäisten viskoosien voimien (kitka) vaihtelusta. Navierin–Stokesin yhtälö on siis tasapainoyhtälö fluidiin vaikuttaville voimille. Yhtälöt on nimetty Claude-Louis Navierin ja George Gabriel Stokesin mukaan.^[1]

Väärävärikuva turbulentista virtauksesta. Turbulenssi on matemaattisesti hyvin vaikea ilmiö mallintaa.

Yhtälöt ovat erittäin käyttökelpoisia monilla fysiikan osa-alueilla. Niitä voidaan käyttää muun muassa mallintamaan säätä, merivirtoja, nesteen virtausta putkessa tai ilman liikettä lentokoneen siiven ympärillä. Siksi niitä käytetään muun muassa autojen ja ilma-alusten muotoilussa tai voimalaitosten suunnittelussa sekä saasteiden leviämisen arvioinnissa.

Navierin–Stokesin yhtälöt ovat differentiaaliyhtälöitä. Tämä tarkoittaa sitä, että toisin kuin algebralliset yhtälöt, jotka kuvaavat muuttujien kuten nopeuden ja paineen välisiä suhteita, nämä yhtälöt kuvaavat muuttujien muutosnopeuksien eli derivaattojen suhteita. Yksinkertaisimman muotonsa ne saavat ideaalifluidiin sovellettuina, jolloin viskoosit voimat ovat nollia. Nämä voimat johtuvat fluidin molekyylien vuorovaikutuksesta, ja niiden suuruus kuvaa, kuinka "paksua" fluidi on. Tällöin yhtälö kertoo, että kiihtyvyys (nopeuden muutosnopeus) on verrannollinen sisäisen paineen muutokseen.

Vaikka turbulenssi on mitä tavallisin arkipäivän ilmiö, turbulenssiongelmiin on äärimmäisen vaikea löytää ratkaisuja. Käytännössä kaikissa tapauksissa Navier–Stokes-yhtälöiden ratkaisut täytyy löytää numeerisesti tietokoneiden avulla. Toukokuussa 2000 Clay-instituutti (Clay Mathematics Institute) listasi Navierin–Stokesin yhtälöt Millennium-ongelmien joukkoon, joiden ratkaisusta on luvattu miljoona dollaria. Palkinnon saa se, joka kehittää merkittävästi tämän ilmiön selittävää matemaattista teoriaa.

Matemaattinen muotoilu

Kokoonpuristumattoman fluidin Navierin–Stokesin yhtälöt karteesisessa koordinaatistossa voidaan esittää muodossa ^[1]

${\displaystyle \rho g_{x}-{\frac {\partial p}{\partial x}}+\mu \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}\right)=\rho {\frac {du}{dt}}}$

${\displaystyle \rho g_{y}-{\frac {\partial p}{\partial y}}+\mu \left({\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial z^{2}}}\right)=\rho {\frac {dv}{dt}}}$

${\displaystyle \rho g_{z}-{\frac {\partial p}{\partial z}}+\mu \left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial z^{2}}}\right)=\rho {\frac {dw}{dt}}}$,

missä ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ ja ${\displaystyle z}$ määrittelevät paikan koordinaatistossa, ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle x}$-suuntainen, ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle y}$-suuntainen ja ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle z}$-suuntainen nopeuden komponentti, ${\displaystyle p}$ fluidin paine paikan ja ajan funktiona, ${\displaystyle \rho }$ fluidin tiheys ja ${\displaystyle \mu }$ dynaaminen viskositeetti. Kokonaisderivaatat (ei osittais-) on tässä laskettu "liikettä seuraten", yksittäisen fluidipaketin näkökulmasta.

Tämä voidaan esittää kompaktimmin vektorimuodossa käyttäen nabla-operaattoria sekä lauseketta ns. kinemaattiselle viskositeetille ${\displaystyle \nu =\mu /\rho }$:

${\displaystyle {\frac {{\textrm {D}}{\vec {U}}}{{\textrm {D}}t}}=-{\frac {1}{\rho }}\nabla p+\nu \nabla ^{2}{\vec {U}}+{\vec {g}}\,}$,

tai lokaalin derivaatan ja advektio-operaattorin avulla esitettynä

${\displaystyle {\frac {\partial {\vec {U}}}{\partial t}}+({\vec {U}}\cdot \nabla ){\vec {U}}=-{\frac {1}{\rho }}\nabla p+\nu \nabla ^{2}{\vec {U}}+{\vec {g}}\,}$,

missä ${\displaystyle {\vec {U}}=u{\hat {i}}+v{\hat {j}}+w{\hat {k}}}$ on virtausnopeus.

Millennium-ongelma

Clay Mathematics Institute on nimennyt Navierin–Stokesin yhtälöiden ratkaisun olemassaolon ja sileyden todistamisen miljoonan Yhdysvaltain dollarin arvoiseksi Millennium-ongelmaksi. Ongelman muotoilu on seuraava:

• Todista tai esitä vastaesimerkki seuraavalle väitteelle: Jos kolmessa ulottuvuudessa annetaan jokin alkunopeuskenttä, niin on olemassa nopeuskenttä ja painekenttä, jotka ovat molemmat sileitä ja kaikkialla määriteltyjä ja jotka toteuttavat Navierin–Stokesin yhtälöt.^[2]

Millennium-ongelma ei siis pyri ratkaisemaan Navierin–Stokesin yhtälöitä vaan pelkästään osoittamaan, että yhtälöillä todellakin aina on olemassa ratkaisu. Lisäksi halutaan todistaa, että ratkaisu on aina sileä. Sileys tarkoittaa, että ratkaisun derivaattojen täytyy olla jatkuvia, eli fysikaalisesti ajateltuna fluidin ominaisuuksien, kuten sen paikallisen kiihtyvyyden, täytyy muuttua ilman äkkinäisiä hyppyjä. Tämä ominaisuus vaaditaan, jotta yhtälöt varmasti kuvaavat fluidien liikettä realistisesti.

Koko kolmiulotteisessa avaruudessa pätevän ratkaisun lisäksi Millennium-palkinto voidaan myöntää, jos ongelma ratkaistaan periodisessa kolmiulotteisessa avaruudessa, eli avaruudessa, joka toistaa itseään tietyn matkan välein. Tämä auttaa hallitsemaan mahdollisia ongelmia äärettömyydessä.^[2]

Lähteet

1. White, Frank M.: Fluid Mechanics, 5. edition, s. 238. McGraw-Hill, 2003. ISBN 0-07-240217-2 (englanniksi)
2. Fefferman, Charles L.: Existence and smoothness of the Navier-Stokes equation Clay-instituutti. Arkistoitu 14.11.2020. Viitattu 17.1.2022.

Aiheesta muualla

• Clay-instituutin palkinto Navier–Stokes-yhtälöiden ratkaisijalle (Arkistoitu – Internet Archive) (englanniksi)
• Yhtälöiden johto (Arkistoitu – Internet Archive) (englanniksi)
• NASAn sivu Navierin–Stokesin yhtälöistä (Arkistoitu – Internet Archive) (englanniksi)

Clay-instituutin seitsemän Millennium-ongelmaa

• P=NP
• Hodgen otaksuma
• Poincarén otaksuma (ratkaistu)
• Riemannin hypoteesi

• Yangin–Millsin olemassaolo
• Navierin–Stokesin yhtälöt
• Birchin ja Swinnerton-Dyerin konjektuuri