Aritmeettinen keskiarvo

Aritmeettinen keskiarvo (lyhenne ka.^[1]) tai lyhyesti keskiarvo on lukujen summa jaettuna niiden lukumäärällä. Puhuttaessa keskiarvosta tarkoitetaan yleensä juuri tätä aritmeettista keskiarvoa. Keskiarvo on tilastotieteessä myös yläkäsite todennäköisyysjakaumien monenlaisille keskiluvuille, joilla kuvataan jakaumien tiheysmassan paikkaa. Niitä ovat esimerkiksi moodi ja mediaani. Kun tarkastellaan tilastollista populaatiota, puhutaan lisäksi populaation keskiarvosta, ja kun tarkastellaan populaation otosta, puhutaan otoskeskiarvosta.

Keskiarvo tarkoittaa aritmetiikassa ja geometriassa myös niitä keskilukuja, joita käytettiin jo muinaisissa Babyloniassa, Egyptissä ja antiikin Kreikassa. Niitä käsitteli ja kehitti tuolloin eteenpäin Pythagoras tutkielmassaan verrannoista. Hän esitteli siinä ensin aritmeettisen keskiarvon lisäksi geometrisen keskiarvon ja harmonisen keskiarvon ja niiden perään vielä seitsemän uutta "keskiarvoa" verrantojen avulla.^[2]

Merkintä ja määritelmä

Kreikkalaista kirjainta μ käytetään tavallisesti populaation keskiarvon merkitsemiseen. Kun jono x₁, x₂, ..., x_n muodostaa aineiston, merkitään otoskeskiarvoa vaakaviivalla muuttujan päällä ${\displaystyle {\bar {x}}}$. Luonnontieteessä tai tekniikassa voidaan suureen keskiarvoa merkitä ${\displaystyle \langle x\rangle }$.

Keskiarvo lasketaan käyttäen kaavaa:

${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}}{n}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}}$,

jossa ${\displaystyle n}$ on havaintojen lukumäärä. Jos samanarvoisia lukuarvoja on toistuvasti monta, tai aineisto on luokiteltu, voidaan keskiarvo esittää frekvenssien avulla

${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {f_{1}x_{1}+f_{2}x_{2}+\dots +f_{n}x_{n}}{N}},}$

missä frekvenssien summa on N

${\displaystyle f_{1}+f_{2}+\dots +f_{n}=N.}$

Ominaisuuksia

Kun tarkasteltava frekvenssijakauma on vino, keskiarvo ei ole yhtenevä mediaanin kanssa. Lisäksi otoksessa olevat poikkeuksellisen suuret havainnot vaikuttavat keskiarvoon huomattavasti. Tällaisissa tilanteissa mediaani on keskiarvoa parempi luku kuvaamaan jakauman keskikohtaa.

Käytännössä μ:n ja ${\displaystyle {\bar {x}}}$:n erona on se, että tavallisesti koko populaatiota ei havaita, jolloin μ:n todellinen arvo ei ole tiedossa. Jos otos on satunnaisesti poimittu, ${\displaystyle {\bar {x}}}$ on satunnaismuuttuja, joka lähestyy suurten lukujen lain mukaan μ:tä otoskoon kasvaessa.

Katso myös

Erityisiä keskiarvoja ovat myös

• Geometrinen keskiarvo
• Harmoninen keskiarvo
• Painotettu keskiarvo
• Liukuva keskiarvo
• Pythagoraan keskiarvo
• Neliöllinen keskiarvo

Lähteet

1. Lyhenneluettelo 07.01.2013. Kotimaisten kielten keskus. Arkistoitu 12.10.2013. Viitattu 29.3.2013.
2. Boyer, Carl B. & Merzbach, Uta C.: Tieteiden kuningatar – Matematiikan historia, osa I, s. 95–97. ("Verrannot") Suomentanut Kimmo Pietiläinen. Helsinki: Art House, 1994. ISBN 951-884-150-0