Neliöllinen keskiarvo

Neliöllinen keskiarvo (engl. Quadratic mean, Root mean square, RMS) on eräs lukujoukkoa tai jakaumaa kuvaavista matemaattisista keskiluvuista. Termi RMS liittyy läheisesti standardipoikkeamaan^[1], ja muun muassa sähkötekniikassa RMS-keskiarvostamalla lasketaan vaihtojännitteen tehollisarvo.

Neliöllinen keskiarvo muuttujalle ${\displaystyle x\,\!}$ määritellään seuraavalla tavalla:^[1]

${\displaystyle R(x)\equiv {\sqrt {\left\langle x^{2}\right\rangle }},}$

missä ${\displaystyle \langle ...\rangle }$ tarkoittaa aritmeettista keskiarvoa.

Määritelmää käyttäen saadaan diskreeteille jakaumille lauseke, joka on muotoa

${\displaystyle R(x)={\sqrt {\frac {\sum _{k=1}^{N}x_{k}^{2}}{N}}}}$

ja jatkuville jakaumille

${\displaystyle R(x)={\sqrt {\frac {\int [P(x)]^{2}\,dx}{\int P(x)\,dx}}}.}$

RMS-keskiarvostaminen sähkötekniikassa

Sähkötekniikassa tehoja laskettaessa, kun käytössä on vaihtojännite (vaihtovirta), niin halutaan yleensä huippujännitteen sijaan tietää tehollisarvo. Näin siksi, että vaihtojännite, joka ilmaistaan tehollisarvonsa avulla antaa kuormaan saman tehon kuin vastaavan suuruinen tasajännite. Tehollisarvo lasketaan vaihtojännitteestä keskiarvoistamalla käyttämällä RMS-keskiarvostamista. Tämän vuoksi ammattipiireissä yleensä puhutaankin RMS-arvosta tehollisarvon sijaan.

Vaihtojännitteen tehollisarvon johto

Tehollisarvo määritellään keskimääräisen tehon avulla. Tehon määritelmän ja Ohmin lain avulla hetkelliseksi tehoksi resistiiviseen kuormaan saadaan

${\displaystyle P(t)={v^{2}(t) \over R},}$

missä ${\displaystyle v(t)}$ on jännitteen arvo tietyllä ajan hetkellä t ja R kuorman resistanssi.

Keskimääräiselle teholle saadaan lauseke integroimalla vaihtojännite ajan jakson T yli sekä jakamalla integroinnista saatu tulos jakson pituudella.

${\displaystyle P_{avg}={1 \over R}\left({1 \over T}\int _{t_{0}}^{t_{0}+T}v^{2}(t)\,dt\right)={v_{rms}^{2} \over R},}$

missä ${\displaystyle t_{0}}$ on ajan hetki tarkastelujakson alussa. Keskimääräinen teho on merkitty yhtä suureksi kuin tehollisarvoisesta jännitteestä ${\displaystyle v_{rms}}$ laskettu teho. Ratkaistaan jännitteen tehollisarvo ottamalla neliöjuuri.

${\displaystyle v_{rms}={\sqrt {{1 \over T}\int _{t_{0}}^{t_{0}+T}\,v^{2}(t)\,dt}}}$

Tämä johdettu tehollisarvon laskentakaava on sama kuin olisi käytetty suoraan RMS-keskiarvostamista. Kaava on helppo muistaa, sillä lyhenne RMS kertoo suoraan laskutavan, Root-Mean-Square (neliöjuuri-keskiarvo-neliöinti). Kaavaa tarvitaan laskettaessa tehollisarvot erilaisille vaihtojännitteille, joista yleisimmin käytettyjä ovat siniaalto, kolmioaalto ja kanttiaalto.

Tehollisarvo siniaallolle

Sinimuotoinen vaihtojännite on muotoa

${\displaystyle v(t)=V_{0}\sin(\omega t),\,\!}$

missä ${\displaystyle V_{0}}$ on jännitteen amplitudi, t aika ja ${\displaystyle \omega }$ kulmataajuus.

Tehollisarvon lauseke sinimuotoiselle jännitteelle on

${\displaystyle v_{rms,\sin }={\sqrt {{1 \over T}\int _{0}^{T}\,V_{0}^{2}\sin ^{2}\left({\frac {2\pi }{T}}t\right)\,dt}}={\frac {V_{0}}{\sqrt {2\pi }}}{\sqrt {\int _{0}^{2\pi }\,\sin ^{2}(t)\,dt}}.}$

Lausekkeen ensimmäisessä osassa kulmataajuus on muutettu muotoon ${\displaystyle \omega =2\pi /T}$. Jälkimmäisessä osassa ajanjakson T paikalle on sijoitettu sinin jakson pituus, joka on ${\displaystyle 2\pi }$. Ajasta riippumaton jännitteen amplitudi on tuotu myös integraalin ulkopuolelle.

Seuraavaksi käytetään hyväksi jo tunnettua sinin neliön integraalia:^[2]

${\displaystyle \int \,\sin ^{2}(x)\,dx={\frac {x}{2}}-{\frac {1}{4}}\sin(2x)+C.}$

Laskut suorittamalla saadaan, että sinimuotoisen jännitteen tehollisarvo on vaihtojännitteen huippuarvo jaettuna neliöjuuri kahdella.

${\displaystyle v_{rms,\sin }={\frac {V_{0}}{\sqrt {2}}}}$

Tehollisarvo kolmioaallolle

Kolmioaallon muotoinen vaihtojännite kuvassa punaisella. Sinisellä on piirretty tämä jännite korotettuna toiseen potenssiin.

Ideaalisen kolmioaallon yksi jakso, ${\displaystyle T/4}$ verran viivästettynä, on alla olevan yhtälöryhmän mukainen. Aaltoa on viivästetty, jotta tehollisarvoa laskettaessa päästään vähemmällä integroinnilla. On myös hyvä huomata, että kolmioaalto muuttuu paraabelin muotoiseksi, kun se korotetaan toiseen potenssiin.

${\displaystyle v(t)={\begin{cases}{\frac {4V_{0}}{T}}t&,{\mbox{kun }}-T/4\leq t<T/4\\-{\frac {4V_{0}}{T}}t+2V_{0}&,{\mbox{kun }}T/4\leq t\leq 3T/4\end{cases}}}$

Kolmioaallon jännitteen tehollisarvo on jännitteen huippuarvo jaettuna neliöjuuri kolmella.

${\displaystyle v_{rms,kolmio}={\frac {V_{0}}{\sqrt {3}}}}$

Tehollisarvo kanttiaallolle

Ideaalinen kanttiaalto yhden jakson verran on muotoa:

${\displaystyle v(t)={\begin{cases}V_{0}&,{\mbox{kun }}0\leq t<T/2\\-V_{0}&,{\mbox{kun }}T/2\leq t\leq T\end{cases}}}$

Kanttiaallon jännitteen tehollisarvo on sama, kuin aallon huippujännitteen itseisarvo.

${\displaystyle v_{rms,kantti}=V_{0}\,\!}$

Lähteet

1. Eric W. Weisstein: Wolfram MathWorld 6 huhtikuuta 2007. Wolfram Research. Viitattu 25. huhtikuuta 2007.
2. Adams, Robert A. (Robert Alexander): Calculus: a complite course, 5th ed. Addison Wesley Longman, 2003. ISBN 0-201-79131-5

Kirjallisuutta

• Voipio, Erkki: Virtapiirit ja verkot. Helsinki: Otatieto, 2001 (1976). ISBN 951-672-082-X