Geometrinen keskiarvo

Positiivisten lukujen ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N}\ }$ geometrinen keskiarvo ${\displaystyle g(x)\ }$ on keskiluku, joka kuvaa lukujen keskiarvoa logaritmisella asteikolla. Geometrinen keskiarvo lasketaan kaavalla

${\displaystyle g(x)=(x_{1}\cdot x_{2}\cdot \ldots \cdot x_{N})^{\frac {1}{N}}={\sqrt[{N}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdot \ldots \cdot x_{N}}}}$.

Geometrisen keskiarvon laskeminen logaritmien avulla

Geometrinen keskiarvo voidaan laskea logaritmi- ja eksponenttifunktioiden avulla ${\displaystyle g(x)}$ muodostamalla lukujen ${\displaystyle a}$-kantaisten logaritmien aritmeettinen keskiarvo ja laskemalla tuloksesta ${\displaystyle a}$-kantainen eksponenttifunktio:

${\displaystyle g(x)=a^{{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\log _{a}x_{i}}}$,

missä ${\displaystyle a}$ on positiivinen luku. Tästä syystä geometrista keskiarvoa saatetaan joskus virheellisesti kutsua logaritmiseksi keskiarvoksi. Logaritminen keskiarvo on kuitenkin eri asia.

Keskiverto

Jos lukuja on vain kaksi, niiden geometrisesta keskiarvosta käytetään myös nimitystä keskiverto. Tämä selittyy sillä, että jos verrannossa

${\displaystyle {\frac {A}{B}}={\frac {C}{D}}}$

sen keskimmäiset jäsenet ${\displaystyle B}$ ja ${\displaystyle C}$ ovat yhtä suuret, niin tällöin kyseinen luku on suuruudeltaan verrannon äärimmäisten jäsenten ${\displaystyle A}$ ja ${\displaystyle D}$ geometrinen keskiarvo, toisin sanoen ${\displaystyle B=C={\sqrt {A\cdot D}}}$. Tämä vastaa näiden kolmen luvun muodostamaa geometrista lukujonoa, jossa keskiverto on keskimmäinen termi.

Katso myös

• Keskiluku
• Aritmeettinen keskiarvo
• Harmoninen keskiarvo

Lähteet

Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.