Ortodiagonaalinen nelikulmio

Ortodiagonaalinen nelikulmio on geometriassa nelikulmio, jonka lävistäjät leikkaavat toisensa kohtisuoraan.^[1] Nelikulmiossa kohtisuora leikkaaminen ei tapahdu aina, joten nelikulmiolla tulee sen vuoksi olla joitakin erityisiä ominaisuuksia. Sana diagonaali on synonyymi lävistäjälle ja orto viittaa lävistäjän kohtisuoruuteen. Tunnettuja ortodiagonaalisia nelikulmioita ovat esimerkiksi neliö, neljäkäs ja leija.

• 
• 

Ortodiagonaalisen nelikulmion sivuille piirrettyjen sinisten neliöiden yhteispinta-ala on yhtä suuri kuin punaisten.

Ortodiagonaalisen nelikulmion bimediaanien ja maltitudien päätepisteet muodostavat 8 pisteen ympyrän

Ortodiagonaalisen nelikulmion lävistäjien leikkauspisteen L pedaalipisteet ja niiden kautta kulkevien normaalien leikkauspisteet vastaisille sivuille muodostavat kahdeksan pisteen ympyrän.

Erityispiirteitä

Konveksi nelikulmio on ortodiagonaali jos ja vain jos (kaikissa lähteenä ^[1])

• vastakkaisten sivujen (${\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3}}$ ja ${\displaystyle a_{4}}$) neliöiden summat ovat samat eli ${\displaystyle a_{1}^{2}+a_{3}^{2}=a_{2}^{2}+a_{4}^{2}.}$ Tämä vastaa geometrisesti sitä, että kullakin sivulla on neliöt, joiden sivut vastaavat nelikulmion sivuja, ja vastakkaisten neliöiden pinta-alojen summat ovat samat.
• bimediaanit (eli vastakkaisten sivujen keskipisteitä yhdistävät janat) ovat yhtä pitkät.
• sivujen keskipisteet muodostavat suorakulmion, mikä on erikoistapaus Varignonin lauseesta.
• sekä bimediaanien että maltitudien (eli sivun keskipisteen korkeusjana vastakkaista sivua vastaan) kantapisteet ovat konsykliset (yhteensä 8 pistettä).
• lävistäjien rajaamissa kolmioissa vastakkaisten kolmioiden neljän kantakulman summa on aina 180°. Toisten kolmioparin kantakulmien summa on silloin luonnollisesti myös 180°. Yhdessä nämä tekevät 360°, mikä onkin nelikulmion kulmien summa.

Seuraavassa tarkastellaan nelikulmion lävistäjien leikkauspisteen L ominaisuuksia. Pisteen L projektioita kullekin sivulle kutsutaan tässä pedaalipisteiksi ja pisteen L ja pedaalipisteen välisiä "korkeusjanoja" merkitään ${\displaystyle h_{1},h_{2},h_{3}}$ ja ${\displaystyle h_{4}}$. Edellistä luetteloa nyt jatkaen, eli konveksi nelikulmio on ortodiagonaali jos ja vain jos (kaikissa lähteenä edelleen ^[1])

• pedaalipisteet muodostavat nelikulmion, joka on syklinen nelikulmio.
• pedaalipisteiden normaalit leikkaavat vastakkaisia sivuja pisteissä, jotka ovat yhdessä pedaalipisteiden kanssa konsykliset (kahdeksan pisteen ympyrä). Piste L muodostaa siis kaksi syklistä nelikulmiota, joilla on eri säteet.
• pisteen L ja sivujen keskipisteiden väliset janat ${\displaystyle (m_{1},m_{2},m_{3},m_{4})}$ toteuttavat yhtälön ${\displaystyle m_{1}^{2}+m_{3}^{2}=m_{2}^{2}+m_{4}^{2}}$.
• pisteen L ja nelikulmion kärkien väliset janat muodostavat neljä kolmiota, joiden ulkoympyröiden säteet toteuttavat yhtälön ${\displaystyle R_{1}^{2}+R_{3}^{2}=R_{2}^{2}+R_{4}^{2}}$.
• edellä mainittujen ulkoympyröiden keskipisteet yhtyvät sivujen keskipisteisiin.
• pisteen L korkeudet kullekin sivulle toteuttavat yhtälön ${\displaystyle {\frac {1}{h_{1}^{2}}}+{\frac {1}{h_{3}^{2}}}={\frac {1}{h_{2}^{2}}}+{\frac {1}{h_{4}^{2}}}}$.

Ominaisuuksia

${\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}pq,}$ ^[1] (pinta-ala)

missä p ja q ovat kohtisuorat lävistäjät.

Erityisiä ortodiagonaalisia nelikulmioita

Neliö

Neliö

Neliö on säännöllinen nelikulmio. Sillä on kaikki sivut yhtä pitkiä, molemmat lävistäjät saman pituisia ja ne leikkaavat toisensa kohtisuoraan sekä puolittavat toisensa. Neliön sisälle piirretty sisäympyrä sivuaa kaikkia sivuja, joten se on myös tangentiaalinen nelikulmio, ja neliön ympäri piirretty ympyrä kulkee kaikkien sen kärkien kautta, joten se on myös syklinen.

Neljäkäs

Neljäkäs

Neljäkäs on suunnikas, jolla on kaikki sivut yhtä pitkiä, mutta sivuja on kahden pituisia. Neljäkkään lävistäjät leikkaavat toisensa kohtisuoraan ja samalla puolittavat toisensa. Myös neljäkäs on tangentiaalinen nelikulmio.^[2]

Leija

Leija

Leijalla yksi lävistäjistä toimii symmetria-akselina. Myös leija on tangentiaalinen nelikulmio.^[3][4][5]

Lähteet

Viitteet

1. Josefsson, Martin: Characterizations of Orthodiagonal Quadrilaterals. Forum Geometricorum, 2012, nro 12, s. 13–25. Florida Atlantic University. ISSN 1534-1178 Artikkelin verkkoversio. (pdf) (englanniksi) (Arkistoitu – Internet Archive)
2. Weisstein, Eric W.: Rhombus (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
3. Geometrian sanasto: Leija (Arkistoitu – Internet Archive)
4. Weisstein, Eric W.: Kite (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
5. Josefsson, Martin: When is a Tangential Quadrilateral a Kite? Forum Geometricorum, 2011, nro 11, s. 165–174. Florida Atlantic University. ISSN 1534-1178 Artikkelin verkkoversio. (pdf) (englanniksi)^{[vanhentunut linkki]}