Kroneckerin delta

Kroneckerin delta (${\displaystyle \delta _{ij}}$) on Leopold Kroneckerin mukaan nimetty matemaattinen kahden muuttujan, yleensä kokonaislukumuuttujan funktio, jonka arvo on 1, jos molemmat muuttujat ovat yhtä suuria, muutoin 0. Niinpä esimerkiksi ${\displaystyle \delta _{12}=0}$, mutta ${\displaystyle \delta _{33}=1}$. Kroneckerin delta käsitetään yleensä pikemminkin lyhennysmerkinnäksi kuin varsinaiseksi funktioksi.

Kroneckerin delta ilmaistaan tavanomaisesti yhtälöllä^[1]

${\displaystyle \delta _{ij}=\left\{{\begin{matrix}1,&{\mbox{jos }}i=j\\0,&{\mbox{jos }}i\neq j\end{matrix}}\right.}$

Toisinaan käytetään myös yhden muuttujan Kroneckerin deltaa, ${\displaystyle \delta _{i}}$:

${\displaystyle \delta _{i}=\left\{{\begin{matrix}1,&{\mbox{jos }}i=0\\0,&{\mbox{jos }}i\neq 0\end{matrix}}\right.}$

Kroneckerin deltaa käytetään monilla matematiikan aloilla, etenkin lineaarialgebrassa sekä myös signaalinkäsittelyssä.

Kroneckerin deltan ominaisuuksia

Matemaattisia sarjoja käsiteltäessä Kroneckerin deltalla on se huomattava ominaisuus, että jos j on mielivaltainen kokonaisluku, pätee mille tahansa lukusarjalle ${\displaystyle a_{i}}$:

${\displaystyle \sum _{i=-\infty }^{\infty }a_{i}\delta _{ij}=a_{j}}$.

Jos kokonaislukujen joukko käsitetään mitta-avaruudeksi, jossa alkioiden lukumäärä ilmaisee osajoukon mitan, tämä yhtälö on analoginen Diracin deltafunktion kanssa, jolle määritelmän mukaan pätee:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\delta (x-y)f(x)dx=f(y),}$

Diracin deltafunktio onkin saanut nimensä tämän analogian perusteella.

Kroneckerin delta lineaarialgebrassa

Lineaarialgebrassa yksikkömatriisi on matriisi, jonka päälävistäjällä kaikki luvut ovat ykkösiä, muualla nollia:

${\displaystyle I_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\ I_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\ I_{3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}},\ \cdots ,\ I_{n}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}}$

Näin ollen matriisin i:nnellä rivillä j:nnessä sarakkeessa oleva alkio ${\displaystyle I_{ij}}$ on 1, jos i = j, muutoin 0, toisin sanoen se on aina sama kuin Kroneckerin delta ${\displaystyle \delta _{ij}}$. Tämä matriisi voidaankin kirjoittaa lyhyesti muotoon ${\displaystyle (\delta _{ij})_{i,j=1}^{n}\,}$,

missä n on matriisin sarakkeiden ja samalla rivien lukumäärä.

Matriiseja käytetään ilmaisemaan lineaarikuvausten. Tämä Kroneckerin delta-matriisi vastaa tällöin identtistä kuvausta.

Integraaliesityksiä

Funktioteoreettisessa residylaskennassa on muutamia tärkeitä integraaleja, joiden arvo voidaan aina ilmaista Kroneckerin deltan avulla. Tällainen on erityisesti seuraava:

${\displaystyle \delta _{x,n}={\frac {1}{2\pi i}}\oint z^{x-n-1}dz,}$

missä integrointi on suoritettu vastapäivään kompleksitason origon ympäri. Tämä voidaan yhtäpitävästi esittää myös seuraavasti:

${\displaystyle \delta _{x,n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }e^{i(x-n)\varphi }d\varphi ,}$

mikä vastaa kompleksitason kiertoa origon ympäri.

Määritelmän laajennus

Samaan tapaan voidaan määritellä myös useamman lukuparin (${\displaystyle i_{n},j_{n}}$) Kroneckerin delta seuraavasti:

${\displaystyle \delta _{i_{1}i_{2}\dots i_{n}}^{j_{1}j_{2}\dots j_{n}}=\prod _{k=1}^{n}\delta _{i_{k}j_{k}}.}$

Tämä on 1, jos vain jos jokaisessa lukuparissa (${\displaystyle i_{n},j_{n}}$ on i_n = j_n, muutoin 0.

Digitaalinen signaalinkäsittely

Kroneckerin deltaa käytetään myös digitaalisessa signaalinkäsittelyssä, jossa se käsitetään kokonaislukujen joukossa ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ määritellyksi funktioksi ${\displaystyle \delta [n]={\begin{cases}1,&n=0\\0,&n\neq 0.\end{cases}}}$

Kroneckerin deltasta käytetään signaalinkäsittelyssä myös nimitystä impulssi tai yksikköimpulssi.

Signaalinkäsittelyssä käytetään joko Kroneckerin deltaa tai Diracin deltafunktiota riippuen siitä, onko signaali jatkuva vai diskreetti. Niinpä merkintää ${\displaystyle \delta (t)\,}$ käytetään jatkuvien signaalien yhteydessä, kun taas argumentteja i, j, k, l, m ja n käytetään diskreeteille impulsseille. Toinen yleinen käytäntö on merkitä diskreettiä jonoja hakasuluilla:  ${\displaystyle \delta [n]\,}$.

Lähteet

1. Griffths, David J.: ”2.2”, Introduction to Quantum Mechanics, 2. painos. Pearson, 2005. ISBN 0-13-191175-9 (englanniksi)

Aiheesta muualla

• Wolfram MathWorld: Kronecker Delta (englanniksi)
• Drew Rollins: Kronecker Delta, The University of California, Berkeley, August 27, 2006 (Arkistoitu – Internet Archive) (pdf) (englanniksi)