Diracin deltafunktio
From Wikipedia, the free encyclopedia
Diracin deltafunktio on brittiläisen fyysikon Paul Diracin käyttöön ottama matemaattinen konstruktio. Intuitiivisesti se voidaan käsittää eräänlaiseksi erikoislaatuiseksi funktioksi, jonka kuvaaja on sellainen äärettömän terävä piikki, jonka alle jäävä pinta-ala on 1. [1] Diracin deltafunktiolla on integraalilaskennassa vastaava merkitys kuin Kroneckerin deltalla sarjateoriassa. Signaalinkäsittelyn alalla sitä sanotaan myös yksikköimpulssifunktioksi. Diracin deltafunktiota käytetään esimerkiksi sähködynamiikassa kuvaamaan pistemäisen varauksen varaustiheyttä.
Tarkkaan ottaen Diracin deltafunktio ei ole funktio lainkaan, vaan ajatus, joka on vasta myöhemmin formalisoitu niin sanottujen jakaumien tai distribuutioiden kautta. Nuo ovat todennäköisyysteoriasta osin lähteneitä matemaattisia rakenteita, jotka sitäkin yleisemmin formuloidaan mitta- ja integraaliteorian kautta, sekä vetoamalla lineaariseen funktionaalianalyysiin.
Ajatus lähtee alun perin fysiikasta ja sen pistemäisenä pitämästä elektronista, jolla siis on pistemäinen varaus. Sitä käytetään yleisemmin kuvaamaan tapauksia, joissa jokin suure tai kenttä on keskittynyt niin pienelle alueelle, että sen voidaan katsoa olevan yhteen pisteeseen keskittynyt. Tällaisten kenttien kuvaus vaatii perinteisestä funktioihin perustuvasta, jatkuvasta ja differentioituvasta matematiikasta poikkeavaa kuvausta, samalla kun funktionaalinen kuvaus lopulta osoittautuu varsin kauniiksi sekä säännölliseksi.