![cover image](https://wikiwandv2-19431.kxcdn.com/_next/image?url=https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3b/Artgate_Fondazione_Cariplo_-_Cifrondi_Antonio%252C_Euclide.jpg/640px-Artgate_Fondazione_Cariplo_-_Cifrondi_Antonio%252C_Euclide.jpg&w=640&q=50)
قضیه اقلیدس
From Wikipedia, the free encyclopedia
قضیهٔ اقلیدس (به انگلیسی: Euclid's theorem) بیان میکند که تعداد اعداد اول، نامتناهی است. این قضیه به روشهای مختلفی اثبات شدهاست. اقلیدس این قضیه را در کتاب اصول اقلیدس اثبات کردهاست.[1] اثباتی براساس برهان خلف به شرح زیر است:
به برهان خلف فرض کنید که تعداد اعداد اول، نامتناهی نباشد. یعنی متناهی و محدود باشد و تنها
عدد اول به شکل
داشته باشیم. حاصلضرب این
عدد اول را
مینامیم:
سپس حاصلجمع آنها با یک را
مینامیم:
. چون
از همۀ اعداد اول
تا
بزرگتر است، پس طبق فرض خلف،
نمیتواند اول باشد. در نتیجه مرکب است. از آنجایی که هر عدد مرکب حداقل یک شمارندۀ اول دارد[2]، پس
باید بر یکی از اعداد اول
تا
بخشپذیر باشد. این عدد را
در نظر بگیرید. پس هم
و هم
بر
بخشپذیر هستند. در نتیجه تفاضل آنها یعنی
نیز بر
بخشپذیر است. اما این ممکن نیست؛ زیرا
برابر با یک است و عدد یک بر هیچ عدد اولی بخشپذیر نیست. پس فرض خلف باطل شد و در نتیجه تعداد اعداد اول، نامتناهی است.
![Thumb image](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3b/Artgate_Fondazione_Cariplo_-_Cifrondi_Antonio%2C_Euclide.jpg/320px-Artgate_Fondazione_Cariplo_-_Cifrondi_Antonio%2C_Euclide.jpg)