ضرب داخلی

تعریف

خلاصه

دیدگاه

بیان ریاضی

ضرب داخلی دو بردار ${\vec {a}}=(a_{1},a_{2},\dots ,a_{\mathrm {n} })$ و ${\vec {b}}=(b_{1},b_{2},\dots ,b_{\mathrm {n} })$ در فضای $\mathbb {R} ^{\mathrm {n} }$ به صورت زیر تعریف می‌شود:^[۲]

${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=\sum _{i=1}^{\mathrm {n} }a_{i}b_{i}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\dots +a_{\mathrm {n} }b_{\mathrm {n} }$

مثال

${\begin{aligned}(1,3,-5)\cdot (4,-2,-1)&=1\times 4+3\times -2+-5\times -1\\&=4\qquad -6\qquad \ +5\\&=3\end{aligned}}$

بیان ماتریسی

اگر بردارها را ماتریس سطری فرض کنیم ضرب داخلی را می‌توان از رابطهٔ زیر نیز محاسبه کرد ( $b^{\mathsf {T}}$ یعنی ماتریس ترانهادهٔ $b$ ):

${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=ab^{\mathsf {T}}$

مثال

${\begin{bmatrix}1&3&-5\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}4\\-2\\-1\end{bmatrix}}=3$

بیان هندسی

اگر $\theta$ زاویهٔ بین دو بردار باشد:^[۳]

${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=\left\vert {\vec {a}}\right\vert \left\vert {\vec {b}}\right\vert \cos \theta$

که در آن $\left\vert {\vec {a}}\right\vert$ و $\left\vert {\vec {b}}\right\vert$ به‌ترتیب اندازه‌های بردارهای ${\vec {a}}$ و ${\vec {b}}$ اند.

در نتیجه:^[۳]

اگر ${\vec {a}}$ و ${\vec {b}}$ بر هم عمود باشند، نتیجهٔ ضرب صفر خواهد شد و برعکس: $\theta =90^{\circ }\Rightarrow \cos \theta =0\Longleftrightarrow {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=0$
اگر ${\vec {a}}$ و ${\vec {b}}$ با هم موازی باشند، نتیجهٔ ضرب برابر ضرب طول بردارها خواهد شد و برعکس: $\theta =0\Rightarrow \cos \theta =1\Longleftrightarrow {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=\left\vert {\vec {a}}\right\vert \left\vert {\vec {b}}\right\vert$
ضرب داخلی یک بردار در خودش برابر مقدار طول آن به توان ۲ است: ${\vec {a}}\cdot {\vec {a}}=\left\vert {\vec {a}}\right\vert ^{2}$

حجم متوازی‌السطوح به‌کمک ضرب‌داخلی بردارها^[۴]

متوازی‌السطوح از احجام‌برداری است که دارای حجم و مساحت است.

برای‌تشکیل متوازی‌السطوح احتیاج به ضرب‌خارجی سه‌بردار به‌نام (a,b,c) نیاز است. ویرایش پیداکردن حجم آن احتیاج به ضرب‌داخلی است.

ضرب‌داخلی بردارهای a,b,c به‌ترتیب این‌گونه است.

${\vec {a}}=(a_{1},a_{2},a_{3}),{\vec {b}}=(b_{1},b_{2},b_{3}),{\vec {c}}=(c_{1},c_{2},c_{3})$

حجم ‌متوازی‌السطوح به این صورت است.

$V=|({\vec {a}}.{\vec {b}}).{\vec {c}}|=a_{1}b_{1}c_{1}+a_{2}b_{2}c_{2}+a_{3}b_{3}c_{3}$

خواص

جابه‌جایی: ${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}={\vec {b}}\cdot {\vec {a}}$ ^[۳]
پخش‌پذیری: ${\vec {a}}\cdot ({\vec {b}}+{\vec {c}})={\vec {a}}\cdot {\vec {b}}+{\vec {a}}\cdot {\vec {c}}$ ^[۳]
ضرب در عدد: $(c_{1}{\vec {a}})\cdot (c_{2}{\vec {b}})=c_{1}c_{2}({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})$ ^[۳]

شرکت‌پذیری ممکن نیست.^[۵]
خط زدن ممکن نیست: اگر ${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}={\vec {a}}\cdot {\vec {c}}$ ، نمی‌توان نتیجه گرفت که ${\vec {b}}={\vec {c}}$ بلکه ${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}={\vec {a}}\cdot {\vec {c}}\Longrightarrow {\vec {a}}\cdot ({\vec {b}}-{\vec {c}})=0\Longrightarrow \theta =90^{\circ }$
نابرابری مثلثی:
- $\|\mathbf {v} +\mathbf {w} \|\leq \|\mathbf {v} \|+\|\mathbf {w} \|$
- $\|\mathbf {v} -\mathbf {w} \|\geq \|\mathbf {v} \|-\|\mathbf {w} \|$