Hiruko artzain-joko

Hiruko artzain-jokoa^[1] lurraren gainean makilekin markatuz, zurezko taula baten gainean zurezko piezez, paperaren gainean lapitzez zein bolalumaz... joka daitekeen eta Euskal Herrian —eta munduko beste toki askotan— aspaldi-aspaldidanik jokatzen den artzain-joko izeneko buru-jokoaren 3x3 gelaxkako aldaera da. Jokoa laukoa (4x4) edo handiagoa ere izan daiteke.

X ikurreko jokalariak irabazi du, bere laugarren txandan, beheko lerroan hirutan hiru eginda.

Hiruko artzain-jokoan, 3×3 gelaxka sare bat marraztuta (edo 3x3 gelaxka dituen taula bat hartuta), jokalariek txandaka eta hurrenez hurren x eta o ikur bat jartzen dute gelaxka huts batean. Edozein unetan, goitik behera, ezker eskuin edo diagonalean bere ikurreko hiruko lerroa osatzen duenak (hirutan hiru, alegia) irabazten du.

Estrategia

Jokaldi perfektu batean, hots, bi jokalariek behar bezala edo estrategia egokia aukeratuz jokatzen badute, jokoa berdinketaz amaitzen da, hau da, bietako batek ere ezin du garaipena lortzeko estrategiarik garatu, beste jokalariaren hutsik egon ezean. Aldiz, bi jokalarietako batek hutsik egiten badu jokaldi perfekturako pausoetan, aurkariak irabazteko aukera du.

Jokoaren estrategia aztertzeko, hiru motako gelaxkak bereizi behar dira: izkinak, alboak, eta erdia.

Jokalari batek bere hurrengo txandan hirutan hiru egin dezakeela, beste jokalariak mugimendu bera eginez saihesten badu, blokatu egiten duela esango da. Adibidez, berdinketaz bukatzen den jokaldi honetan, laugarren mugimenduan o jokalariak blokatu egin du:

Jokalari batek galduko ez badu, blokatu egin behar du horretarako aukera duen guztietan. Jokalari batek hirutan hiru egiteko aukera duenean, hala egingo du eta mugimendu horretan bertan irabaziko du.

Lehenengo jokalariarentzako estrategia onena^[2]

Lehenengo jokalariak x jarriko du izkina batean (1)^[3].

Bigarren jokalariak o izkina batean jartzen badu (2), lehenengo jokalariak x jarri behar du izkina batean (3), bigarren jokalariak blokatu egingo du (4), lehenengo jokalariak x jarriko du geratzen izkinan (5). Horrela, bigarren jokalariak blokeatu beharreko bi lerroetatik bat bakarrik bloka dezake hurrengoan (6) eta horrela lehenengo jokalariak hurrengo mugimenduan irabaziko du (7).

Bigarren jokalariak o alboko gelaxka batean jartzen badu (2), lehenengo jokalariak x erdiko gelaxkan jarri behar du (3), bigarren jokalariak blokatu egingo du diagonalean (4) eta ondoren bi aukera daude:

• x jokalariak blokatu egin behar du (5), o jokalariak hurrengoan irabazterik badu.
• x jokalariak o ondoan ez duen izkina aukeratu behar du (5).

Horrela, bigarren jokalariak blokatu beharreko bi lerroetatik bat bakarrik bloka dezake hurrengoan (6) eta horrela lehenengo jokalariak hurrengo mugimenduan irabaziko du (7).

Bigarren jokalariak o erdiko gelaxkan jartzen badu (2), lehenengo jokalariak x bere aurkako izkinan jarri behar du (3). Bi egoera ezberdin daude jarraian:

• o jokalariak izkin bat hartzea(4), eta orduan x lehenengo jokalariak geratzen den izkina hartu behar du (5). Horrela, bigarren jokalariak blokatu beharreko bi lerroetatik bat bakarrik bloka dezake hurrengoan (6) eta horrela lehenengo jokalariak hurrengo mugimenduan irabaziko du (7).

• o jokalariak alboko gelaxka bat hartzen du (4). x jokalariak blokatu egin behar du (5). y jokalariak blokatu egiten du (6). x jokalariak blokatu egiten du (7). y jokalariak blokatu egiten du (8). Berdinketaz bukatzen da jokaldia bederatzigarren mugimenduan.

Beraz, lehenengo jokalariak izkina aukeratzen du hasieran, eta behar denean blokeatu edo hurrengoan irabazteko mugimendua egiten badu, ez du inoiz galduko.

Bigarren jokalariarentzako estrategia onena

Lehenengo x jokalariak erdikoa ez den gelaxka batean kokatzen badu bere ikurra (1), bigarren o jokalariak erdiko gelaxkan jarri behar du (2), jarraian x jokalariak bere bigarren ikurra jartzen du (3):

• x bat izkina batean eta bestea alboko gelaxka batean badago, o jokalariak x ikurra dagoen aurkako izkinan kokatu behar du bere ikurra (4), jarraian x jokalariak bere ikurra jartzen duen mugimendua egindakoan (5), o jokalariak blokatu edo blokatu beharrik ez badago, edozein gelaxkatan jarriko du bere o ikurra, eta horrela segituko du, blokatzen edo blokatu behar ez bada edozein gelaxkatan o jartzen, jokaldia berdinketaz amaitu, edo x jokalariak o ez blokatzeagatik sortu duen irabazteko aukera aprobetxatuz, irabazi arte.

• x ikur biak alboko gelaxketan badaude,
  • x ikur biek izkinako gelaxka bat zedarritzen badute, o jokalariek izkina hori bera hartu behar du (4), x jokalariak blokatu egiten du (5), o jokalariak nonahi jartzen du bere ikurra (5), eta horrela o jokalariak hurrengo txandetan x jokalariaren hirutan hiru blokatuz, berdinketaz amaitu arte.
  • x ikur biek izkina bat zedarritzen ez dutenean (hau da, aurkako alboko gelaxketan kokaturik daudenean), o jokalariak irabazten du. Horretarako, o jokalariak libre geratzen den bi alboko gelaxketatik bat hartzen du (4), x jokalariak blokatu egiten du (5) eta x bakar baten ondoan dagoen izkina batean kokatu behar du bigarren jokalariak o ikurra (6). Horrela, lehenengo jokalariak blokatu beharreko bi lerroetatik bat bakarrik bloka dezake hurrengoan (7) eta horrela bigarren jokalariak hurrengo mugimenduan irabaziko du (8).

• x ikur biak izkinetan badaude, o jokalariak alboko edozein gelaxka aukeratzen du (4), x jokalariak blokeatu egingo du (5), o jokalariak ere blokeatuz (6), eta jarraian ere blokatuz, jokaldia berdinketaz amaitu da.

Lehenengo x jokalariak erdiko gelaxkan kokatzen badu bere ikurra (1), bigarren o jokalariak nonnahi jarriko du berea (2), jarraian x jokalariak bere bigarren ikurra jartzen du (3). Jartzen duen gelaxkan jartzen duela, o jokalariak blokatu egin behar du (4) eta horrela egingo du jarraian ere, x hurrengoan irabazteko mehatxua egiten duenean, jokoa berdinketaz amaitu arte, x jokalariak huts egin eta hurrengo txanda batean o jokalariari irabazteko aukerarik ematen ez badio behintzat.

Jokaldi perfektua

Jokaldi perfektu bat, berdinketaz bukatuko dena, garatzeko zenbait era dago, aurreko atalean erakutsi denez. Horietako bat, arestian emandako estrategien arabera, hau da:

1. x izkina batean
2. o erdiko izkinan
3. x (1) mugimenduaren aurkako izkinan
4. o alboko gelaxkan
5. x, (2)(4) blokatu
6. o, blokatu
7. x, blokatu
8. o, blokatu
9. x.

Bederatzi gelaxkak a-tik i-ra izendatuta, ezkerretik eskuinera eta goitik behera, arestiko jokaldia honela eman daiteke labur:

a:X,e:0,i:X,b:0,h:X,g:0,c:X,f:0,d:X eta jokaldia berdinketaz amaitzen da. Honako jokaldi honetan, berriz, x jokalariak jokaldi perfektu bat egin du, eta o jokalariaren huts bat aprobetxatuz, irabazi: a:X,e:0,i:X,c:0,g:X,h:o,d:X.

Azterketa matematikoa

Hirutan hiru jokoak konbinatoria ebazkizun interesgarriak planteatzen ditu. Lehenengo jokalariak bederatzi gelaxka ditu aukeran bere ikurra jartzeko; bigarrenak, berriz, zortzi; lehenengo jokalariak, bere bigarren txandan, zazpi gelaxka ditu aukeran... Horrela 9! = 362.880 era ezberdin daude, permutazioen formula erabiliz, bederatzi gelaxkak betetzeko ^[4]. Baina gelaxkak betetzeko era horietatik guztietatik batzuetan jokoa bederatzi gelaxkak bete baino lehen bukatu da. Beraz, 9! jokaldia garatzeko era kopurua baino, gelaxka guztiak txandaz txanda betetzeko era kopurua da.

Bosgarren mugimendua ^[5][6]

Jokoa bukatuta izan daitekeen lehenengo unea bosgarren mugimendua da eta, arestian bezala kalkulatuz, bost mugimenduetako bide kopurua 9 × 8 × 7 × 6 × 5 = 15.120 da, edo jokoa ordurako 15.120 eratara gara daiteke.

15.120 jokaldi horietatik x jokalariaren garaipenaz bukatzen direnak 8 × 3! × 6 × 5 = 1.440 dira. Izan ere, zortzi lerro dira aukeran hirutan hiru egiteko (hiru horizontal, hiru bertikal, bi diagonal), bertan 3! ezar daitezke 3 x ikurrak, eta o jokalariak sei eta bost gelaxka ditu aukeran, hurrenez hurren, bere ikurrak kokatzeko.

Bosgarren txandarako kokapen edo egoera posibleak 1.260 dira. Izan ere, x jokalariaren ikurrak, koefiziente binomialen formulaz, ${\displaystyle {9 \choose 3}=84\,}$ eratara azal daitezke, bederatzi gelaxketatik hiru dituelako aukeran, ordena kontuan hartu gabe. Halaber, o jokalariaren kokapenak ${\displaystyle {6 \choose 2}=15\,}$ eratara azal daitezke. Guztira, beraz, 84 × 15 = 1.260 kokapen ezberdin daude bosgarren mugimendurako. Horietatik, 8 × 15 = 120 kokapenetan bukatu da jokaldia (horizontalean, bertikalean eta diagonalean zortzi hirutan hiru posible izanik, o jokalariak ${\displaystyle {6 \choose 2}=15\,}$ kokapen dituelako aukeran).

Seigarren mugimendua

Jokaldiaren kokapen kopurua ${\displaystyle {9 \choose 3}{6 \choose 3}-8\times {6 \choose 3}=1520\,}$ da, bosgarren mugimendurako jokaldia amaituta zegoeneko egoerak kendurik (horizontalean, bertikalean eta diagonalean, zortzi hirutan hiru posible izanik, o jokalariak ${\displaystyle {6 \choose 3}=20\,}$ kokapen izan dituelako aukeran seigarrren mugimendua egindakoan). Horietatik, bukaerako kokapen kopurua, non o jokalariak irabazten duen, 148 da. Izan ere, horizontalean, bertikalean eta diagonalean, zortzi hirutan hiru posible izanik o jokalariarentzat, x jokalariak ${\displaystyle {6 \choose 3}=20\,}$ kokapen izan dituelako aukeran seigarren mugimendua egindakoan), horiei kenduta x jokalariak ere hirutan hiru egin dueneko hamabi egoerak (o jokalariaren errenkada oso bakoitzeko, beste bi aukera zituen x jokalariak bere errenkada osatzeko eta berdin hiru zutabeetan: (3 + 3) × 2 = 12) . Beraz: 8 × 20 - 12 = 160.

Seigarren mugimenduan jokaldiaren garapen kopurua 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 - 1440 × 4 = 54.720 da, jokoa bosgarren mugimenduan bukatzen zeneko aukerak ezabatu egin behar direlako, seigarren mugimendurako dauden lau aukerekin biderkatuz betiere.

Seigarren mugimenduan jokaldiaren garapen kopurua, o jokalariaren garaipenaz bukatzen delarik, kalkulatzea konplexua da, balitekeelako bosgarren jokaldian x jokalariak irabazi izana. Hori ezin da gertatu, o jokalariak diagonala egin badu. Horrela bada, o jokalariak bidiagonal ditu aukeran eta 3! = 6 era mugimenduak egiteko. Gainerako gelaxketan, x jokalariak 6 × 5 × 4 = 120 eratara koka ditzake bere ikurrak. beraz, horrela 2 × 6 × 120 = 1.440 eratara gara daiteke jokoa o jokalaria diagonala osatuz. Horizontalean zein bertikalean, sei aukera ditu eta 3! = 6 era mugimenduak egiteko. x jokalariak 6 × 5 × 4 = 120 eratara egin dezake, baina berak aurretik hirutan hiru egin dueneko haiek kendu behar dira, hamabi guztira, arestian ikusi den bezala. Beraz, guztira 6 × 6 × (120 - 12) = 3.888 garapen posible daude o jokalariaren errenkada edo zutabe osozko garaipenaz bukatzen direnak. Guztira, 1.440 + 3.888 = 5.328 garapen posible daude.

Laburpen taula

Zazapigarren, zortzigarren eta bederatzigarren mugimenduetarako aukera kopuruak aztertuz, aurreko izenburuetan bezala, laburpen taula hau osa daiteke:

Mugimendua	Kokapenak	Garaipenezko kokapenak	Garapenak	Garaipenezko garapenak
1	9	-	9	-
2	72	-	72	-
3	252	-	504	-
4	756	-	3.024	-
5	1.260	120	15.120	1.440
6	1.520	148	54.720	5.328
7	1.140	444	148.176	47.952
8	390	168	200.448	72.576
9	78	78	127.872	81.792 (garaipenaz), 46.080 (berdinketaz)

Zorizko jokaldiak

Bosgarren mugimenduko 1.440 garaipenezko garapenetan, jokaldiak x jokalariak irabazi arren, aurrera jarraituko balitz, hauetako bakoitzeko 4! = 24 garapen gehiago sortuko lirateke, beraz, 1.440 × 24 = 34.560. Seigarren mugimenduko 5.328 garaipenetatik bakoitzeko sei garapen gehiago sortuko lirateke bederatzi gelaxkak bete arte, guztira 5.328 × 6 = 31.968. Zapigarren mugimenduko horietako bakoitzeko, bi, beraz, 47.952 × 2 = 95.904. Zortzigarren mugimendu bakoitzeko, bederatzigarren mugimendua derrigortua izango litzateke, aukera bakarra izango luke alegia, beraz, guztira 72.576. Bederatzigarren mugimenduan, garaipenez 81.792 garapen eta berdinketaz 46.080 garapen ditugu. Guztira, batuketa eginez, 362.880 garapen posible daude, beraz, hasieran kalkulaturiko 9! kopuruarekin bat datorrena.

Horrela, bi jokalariek arreta jarri gabe edo zoriz jokatzen badute, x jokalariak irabazteko probabilitatea hau izango da:

${\displaystyle p_{x}={\frac {34560+95904+81792}{362880}}=0.585}$

o jokalariak irabazteko probabilitatea, berriz, hau da:

${\displaystyle p_{o}={\frac {31968+72576}{362880}}=0.288}$

Eta berdinketaz bukatzeko probabilitatea hau da:

${\displaystyle p_{-}={\frac {46080}{362880}}=0.127}$

Aldaerak

Joko horren oinarri bera duten beste joko edo aldaera andana bat daude. Hona hemen batzuk:

• m,n,k jokoak: hiruko artzain jokoaren orokorpena, m × n dimentsiotako taulan k fitxa lerrokatzean datza.
• Kontrako artzain jokoak: lerroa osatzera behartua den jokalariak galtzen du.
• Bertikalak: taula bertikalki ezarria da eta piezak goiko zirrikituetatik sartzen dira jokora. Jokalariek ezin dute pieza nahi duten posizioan ezarri, grabitatearen ondorioz ahal duen posizio baxuena hartuko baitu. Lerroak egiteko piezak elkarren gainean ezartzea beharrezko da.
• Jokalari ugarikoak: bi baino jokalari gehiago dituztenak.
• Joko "zoroak": jokalariak bere txanda bakoitzean aukeratzen du zein fitxarekin jokatuko duen.
• Hiruko lerroa: hiruko artzain jokoa bezala hasten da, baina behin jokalari batek hirugarren fitxa ezarri ondoren, berriak ezarri beharrean taulan dituenak mugitu behar ditu. Aldaera batzuetan libre den edozein posiziora mugi ditzake, beste batzuetan aldiz ondoko posizio batera (diagonalean zein bertikal edo horizontalean). Joko honi hiruko errota ere deitzen zaio, hiru fitxekin jokatzen den errota jokoa baita.
• Errota-jokoak: jokalari bakoitzak fitxa kopuru mugatua du, eta hiruko lerroa osatzea lortzen duen bakoitzeko arerioaren fitxa bat jokotik kentzeko eskubidea du. Taula ezberdinak dira, jokalari bakoitzak hasieran duen fitxa kopuruaren arabera (hiruko errota, seikoa, bederatzikoa...)
• Zenbakizkoak: jokalariek berei dagokien koloreko fitxak ezarri beharrean, zenbakiak ezartzen dituzte taulan, 1etik 9ra. Bere txandan, jokalari batek nahi duen zenbakia jartzen du libre den posizioan (ezarriak direnak errepikatu gabe). Helburu ezberdinekin joka daiteke: 15 batura duen lerroa sortzeko, jokalari batek batura bikoitia eta besteak bakoitia sortzeko...