Hiruko artzain-joko

Hiruko artzain-jokoa^[1] lurraren gainean makilekin markatuz, zurezko taula baten gainean zurezko piezez, paperaren gainean arkatz... joka daitekeen eta Euskal Herrian —eta munduko beste toki askotan— aspaldi-aspaldidanik jokatzen den artzain-joko izeneko buru-jokoaren 3x3 gelaxkako aldaera da. Laukoa (4x4) edo handiagoa ere izan daiteke artzain-jokoa.

X ikurreko jokalariak irabazi du, bere laugarren txandan, beheko lerroan hirutan hiru eginda.

Hiruko artzain-jokoan, 3×3 gelaxka sare bat marraztuta (edo 3x3 gelaxka dituen taula bat hartuta), jokalariek txandaka eta hurrenez hurren x eta o ikur bat jartzen dute gelaxka huts batean. Edozein unetan, bere ikurreko hiruko lerroa, hirutan hiru alegia, (goitik behera, ezker eskuin edo diagonalean) osatzen duenak irabazten du.

Estrategia

Jokaldi perfektu batean, hau da bi jokalariek behar bezala edo estrategia egoki bat aukeratuz jokatzen dutelarik, jokoa berdinketaz amaitzen da, hau da, jokalariek, ez lehenengoak ez bigarrenak, ezin dute garaipena lortzeko estrategia bat garatu beste jokalariaren hutsik egin ezean. Bi jokalarietako batek hutsik egiten badu jokaldi perfekturako pausoetan berriz, beste jokalariak aukera izango du irabazteko.

Jokoaren estrategia aztertzeko hiru motako gelaxkak bereizi behar dira: izkinak, alboak, eta erdia.

Jokalari batek bere hurrengo txandan hirutan hiru egin dezakeela, beste jokalariak mugimendu bera eginez ekiditen badu, blokeatu egiten duela esango da. Adibidez, berdinketaz bukatzen den jokaldi honetan, laugarren mugimenduan o jokalariak blokeatu egiten du:

Jokalari batek galduko ez badu, blokeatu egin behar du horretarako aukera duen guztietan. Jokalari batek hirutan hiru egiteko aukera duenean, hala egingo du eta mugimendu horretan bertan irabaziko du.

Lehenengo jokalariarentzat estrategia optimoa^[2]

Lehenengo jokalariak x jarriko du izkina batean (1)^[3].

Bigarren jokalariak o izkina batean jartzen badu (2), lehenengo jokalariak x jarri behar du izkina batean (3), bigarren jokalariak blokeatu egingo du (4), lehenengo jokalariak x jarriko du geratzen izkinan (5). Horrela, bigarren jokalariak blokeatu beharreko bi lerroetatik bat bakarrik blokea dezake hurrengoan (6) eta horrela lehenengo jokalariak hurrengo mugimenduan irabaziko du (7).

Bigarren jokalariak o alboko gelaxka batean jartzen badu (2), lehenengo jokalariak x erdiko gelaskan jarri behar du (3), bigarren jokalariak blokeatu egingo du diagonalean (4) eta ondoren bi aukera daude:

• x jokalariak blokeatu egin behar du (5), o jokalariak hurrengoan irabazterik badu.
• x jokalariak o ondoan ez duen izkina aukeratu behar du (5).

Horrela, bigarren jokalariak blokeatu beharreko bi lerroetatik bat bakarrik blokea dezake hurrengoan (6) eta horrela lehenengo jokalariak hurrengo mugimenduan irabaziko du (7).

Bigarren jokalariak o erdiko gelaskan jartzen badu (2), lehenengo jokalariak x bere aurkako izkinan jarri behar du (3). Bi egoera ezberdin daude jarraian:

• o jokalariak izkin bat hartzea(4), eta orduan x lehenengo jokalariak geratzen den izkina hartu behar du (5). Horrela, bigarren jokalariak blokeatu beharreko bi lerroetatik bat bakarrik blokea dezake hurrengoan (6) eta horrela lehenengo jokalariak hurrengo mugimenduan irabaziko du (7).

• o jokalariak alboko gelaska bat hartzen du (4). x jokalariak blokeatu egin behar du (5). y jokalariak blokeatu egiten du (6). x jokalariak blokeatu egiten du (7). y jokalariak blokeatu egiten du (8). Berdinketaz bukatzen da jokaldia 9. mugimenduan.

Beraz, lehenengo jokalariak izkina aukeratzen du hasieran, eta behar denean blokeatu edo hurrengoan irabazteko mugimendua egiten badu, ez du inoiz galduko.

Bigarren jokalariarentzako estrategia optimoa

Lehenengo x jokalariak erdikoa ez den gelaxka batean kokatzen badu bere ikurra (1), bigarren o jokalariak erdiko gelaxkan jarri behar du (2), jarraian x jokalariak bere bigarren ikurra jartzen du (3):

• x bat izkina batean eta bestea alboko gelaxka batean badago, o jokalariak x ikurra dagoen aurkako izkinan kokatu behar du bere ikurra (4), jarraian x jokalariak bere ikurra jartzen duen mugimendua egindakoan (5), o jokalariak blokeatu edo blokeatu beharrik ez badago, edozein gelaxkatan jarriko du bere o ikurra, eta horrela jarraituko du, blokeatzen edo blokeatu behar ez bada edozein gelaxkatan o jartzen, jokaldia berdinketaz amaitu, edo x jokalariak o ez blokeatzeagatik sortu duen irabazteko aukera aprobetxatuz, irabazi arte.

• x ikur biak alboko gelaxketan badaude,
  • x ikur biek izkinako gelaxka bat zedarritzen badute, o jokalariek izkina hori bera hartu behar du (4), x jokalariak blokeatu egiten du (5), o jokalariak non-nahi jartzen du bere ikurra (5), eta horrela o jokalariak hurrengo txandetan x jokalariaren hirutan hiru blokeatuz, berdinketaz amaitu arte.
  • x ikur biek izkina bat zedarritzen ez dutenean (hau da, aurkako alboko gelaxketan kokaturik daudenean), o jokalariak irabazten du. Horretarako, o jokalariak libre geratzen den bi alboko gelaxketatik bat hartzen du (4), x jokalariak blokeatu egiten du (5) eta x bakar baten ondoan dagoen izkina batean kokatu behar du bigarren jokalariak o ikurra (6). Horrela, lehenengo jokalariak blokeatu beharreko bi lerroetatik bat bakarrik blokea dezake hurrengoan (7) eta horrela bigarren jokalariak hurrengo mugimenduan irabaziko du (8).

• x ikur biak izkinetan badaude, o jokalariak alboko edozein gelaxka aukeratzen du (4), x jokalariak blokeatu egingo du (5), o jokalariak ere blokeatuz (6), eta jarraian ere blokeatuz, jokaldia berdinketaz amaituko da.

Lehenengo x jokalariak erdiko gelaxkan kokatzen badu bere ikurra (1), bigarren o jokalariak non-nahi jarriko du bere ikurra (2), jarraian x jokalariak bere bigarren ikurra jartzen du (3). Jartzen duen gelaxkan jartzen duela, o jokalariak blokeatu egin behar du (4) eta horrela egingo du jarraian ere, x hurrengoan irabazteko mehatxua egiten duenean, jokoa berdinketaz amaitu arte, x jokalariak huts egin eta hurrengo txanda batean o jokalariari irabazteko aukerarik ematen ez badio behintzat.

Jokaldi perfektua

Jokaldi perfektu bat, berdinketaz bukatuko dena, garatzeko zenbait era dago, aurreko atalean erakutsi denez. Horietako bat, arestian emandako estrategien arabera, hau da:

1. x izkina batean
2. o erdiko izkinan
3. x (1) mugimenduaren aurkako izkinan
4. o alboko gelaxkan
5. x, (2)(4) blokeatu
6. o, blokeatu
7. x, blokeatu
8. o, blokeatu
9. x.

9 gelaxkak a-tik i-ra izendatuta, ezkerretik eskuinera eta goitik behera, arestiko jokaldia honela eman daiteke labur:

a:X,e:0,i:X,b:0,h:X,g:0,c:X,f:0,d:X eta jokaldia berdinketaz amaitzen da. Honako jokaldi honetan, berriz, x jokalariak jokaldi perfektu bat egiten du, eta o jokalariaren huts bat aprobetxatuz, irabazi egiten du: a:X,e:0,i:X,c:0,g:X,h:o,d:X.

Azterketa matematikoa

Hirutan hiru jokoak konbinatoria ebazkizun interesgarriak planteatzen ditu.

Lehenengo jokalariak 9 gelaxka ditu aukeran bere ikurra jartzeko, bigarrenak berriz 8 gelaxka ditu aukeran, lehenengo jokalariak bere bigarren txandan 7 gelaxka ditu aukeran, ... Horrela 9!=362 880 era ezberdin daude, permutazioen formula erabiliz, 9 gelaxkak betetzeko ^[4]. Baina gelaxkak betetzeko era hauetatik guztietatik batzuetan jokoa 9 gelaxkak bete baino lehen bukatu da. Beraz, 9! jokaldia garatzeko era kopurua baino, gelaxka guztiak txandaz txanda betetzeko era kopurua da.

5. mugimendua ^[5][6]

Jokoa bukatuta izan daitekeen lehenengo unea bosgarren mugimendua da eta, arestian bezala kalkulatuz, bost mugimenduetako bide kopurua 9×8×7×6×5=15 120 da, edo jokoa ordurako 15120 eratara gara daiteke.

15120 jokaldi hauetatik x jokalariaren garaipenaz bukatzen direnak 8×3!×6×5=1440 dira. Izan ere, 8 lerro dira aukeran hirutan hiru egiteko (3 horizontal, 3 bertikal, 2 diagonal), bertan 3! ezar daitezke 3 x ikurrak, eta o jokalariak 6 eta 5 gelaxka ditu aukeran hurrenez hurren bere ikurrak kokatzeko.

5 txandarako kokapen edo egoera posibleak 1260 dira. Izan ere, x jokalariaren ikurrak, koefiziente binomialen formulaz, ${\displaystyle {9 \choose 3}=84\,}$ eratara azal daitezke, 9 gelaxketatik 3 dituelako aukeran, ordena kontuan hartu gabe. Halaber, o jokalariaren kokapenak ${\displaystyle {6 \choose 2}=15\,}$ eratara azal daitezke. Guztira beraz, 84×15=1260 kokapen ezberdin daude 5. mugimendurako. Hauetatik 8×15=120 kokapenetan bukatu da jokaldia (horizontalean, bertikalean eta diagonalean 8 hirutan hiru posible izanik, o jokalariak ${\displaystyle {6 \choose 2}=15\,}$ kokapen dituelako aukeran).

6. mugimendua

Jokaldiaren kokapen kopurua ${\displaystyle {9 \choose 3}{6 \choose 3}-8\times {6 \choose 3}=1520\,}$ da, 5. mugimendurako jokaldia amaituta zegoeneko egoerak kendurik (horizontalean, bertikalean eta diagonalean 8 hirutan hiru posible izanik, o jokalariak ${\displaystyle {6 \choose 3}=20\,}$ kokapen izan dituelako aukeran 6. mugimendua egindakoan).

Hauetatik, bukaerako kokapen kopurua, non o jokalariak irabazten duen, 148 da. Izan ere, horizontalean, bertikalean eta diagonalean 8 hirutan hiru posible izanik o jokalariarentzat, x jokalariak ${\displaystyle {6 \choose 3}=20\,}$ kokapen izan dituelako aukeran 6. mugimendua egindakoan), hauei kenduta x jokalariak ere hirutan hiru egin dueneko 12 egoerak (o jokalariaren errenkada oso bakoitzeko, beste bi aukera zituen x jokalariak bere errenkada osatzeko eta berdin 3 zutabeetan: (3+3)×2=12) . Beraz: 8×20-12=160.

6. mugimenduan jokaldiaren garapen kopurua 9×8×7×6×5×4-1440×4=54720 da, jokoa 5. mugimenduan bukatzen zeneko aukerak ezabatu egin behar direlako, 6. mugimendurako dauden 4 aukerekin biderkatuz betiere.

6. mugimenduan jokaldiaren garapen kopurua, o jokalariaren garaipenaz bukatzen delarik, kalkulatzea konplexua da, balitekeelako 5. jokaldian x jokalariak irabazi izana. Hau ezin da gertatu, o jokalariak diagonala egin badu. Horrela bada, o jokalariak 2 diagonal ditu aukeran eta 3!=6 era mugimenduak egiteko. Gainerako gelaxketan, x jokalariak 6×5×4=120 eratara koka ditzake bere ikurrak. beraz, horrela 2×6×120=1440 eratara gara daiteke jokoa o jokalaria diagonala osatuz. Horizontalean zein bertikalean, 6 aukera ditu eta 3!=6 era mugimenduak egiteko. x jokalariak 6×5×4=120 eratara egin dezake, baina berak aurretik hirutan hiru egin dueneko haiek kendu behar dira, 12 guztira, arestian ikusi den bezala. Beraz, guztira 6×6×(120-12)=3888 garapen posible daude o jokalariaren errenkada edo zutabe osozko garaipenaz bukatzen direnak. Guztira 1440+3888=5328 garapen posible daude.

Laburpen taula

7., 8. eta 9. mugimenduetarako aukera kopuruak aztertuz, aurreko izenburuetan bezala, laburpen taula hau osa daiteke:

Mugimendua	Kokapenak	Garaipenezko kokapenak	Garapenak	Garaipenezko garapenak
1	9	-	9	-
2	72	-	72	-
3	252	-	504	-
4	756	-	3024	-
5	1260	120	15120	1440
6	1520	148	54720	5328
7	1140	444	148176	47952
8	390	168	200448	72576
9	78	78	127872	81792 (garaipenaz), 46080 (berdinketaz)

Zorizko jokaldiak

5. mugimenduko 1440 garaipenezko garapenetan, jokaldiak x jokalariak irabazi arren, aurrera jarraituko balitz, hauetako bakoitzeko 4!=24 garapen gehiago sortuko lirateke, beraz, 1440×24=34560. 6. mugimenduko 5328 garaipenetatik bakoitzeko 6 garapen gehiago sortuko lirateke 9 gelaxkak bete arte, guztira 5328×6=31968. 7. mugimenduko horietako bakoitzeko, 2, beraz, 47952×2=95904. 8. mugimendu bakoitzeko, 9. mugimendua derrigortua izango litzateke, aukera bakarra izango luke alegia, beraz, guztira 72576. 9. mugimenduan, garaipenez 81792 garapen eta berdinketaz 46080 garapen ditugu. Guztira, batuketa eginez, 362880 garapen posible daude beraz, hasieran kalkulaturiko 9! kopuruarekin bat datorrena.

Horrela, bi jokalariek burugabe edo zoriz jokatzen badute, x jokalariak irabazteko probabilitatea hau izango da:

${\displaystyle p_{x}={\frac {34560+95904+81792}{362880}}=0.585}$

o jokalariak irabazteko probabilitatea, berriz, hau da:

${\displaystyle p_{o}={\frac {31968+72576}{362880}}=0.288}$

Eta berdinketaz bukatzeko probabilitatea hau da:

${\displaystyle p_{-}={\frac {46080}{362880}}=0.127}$

Aldaerak

Joko honen oinarri bera duten beste joko edo aldaera andana bat existitzen da. Hona hemen batzuk:

• m,n,k jokoak: Hiruko artzain jokoaren orokorpena, m×n dimentsiotako taulan k fitxa lerrokatzean datza.
• Kontrako artzain jokoak: lerroa osatzera behartua den jokalariak galtzen du.
• Bertikalak: Taula bertikalki ezarria da eta piezak goiko zirrikituetatik sartzen dira jokora. Jokalariek ezin dute pieza nahi duten posizioan ezarri, grabitatearen ondorioz ahal duen posizio baxuena hartuko baitu. Lerroak egiteko piezak elkarren gainean ezartzea beharrezko suertatzen da.
• Jokalari ugarikoak: bi baino jokalari gehiago dituztenak.
• Joko "zoroak": jokalariak bere txanda bakoitzean aukeratzen du zein fitxarekin jokatuko duen.
• Hiruko lerroa: Hiruko artzain jokoa bezala hasten da, baina behin jokalari batek hirugarren fitxa ezarri ondoren, berriak ezarri beharrean taulan dituenak mugitu behar ditu. Aldaera batzuetan libre den edozein posiziora mugi ditzake, beste batzuetan aldiz ondoko posizio batera (diagonalean zein bertikal edo horizontalean). Joko honi hiruko errota ere deitzen zaio, hiru fitxekin jokatzen den errota jokoa baita.
• Errota-jokoak: jokalari bakoitzak fitxa kopuru mugatua du, eta hiruko lerroa osatzea lortzen duen bakoitzeko arerioaren fitxa bat jokotik kentzeko eskubidea du. Taula ezberdinak dira, jokalari bakoitzak hasieran duen fitxa kopuruaren arabera (hiruko errota, seikoa, bederatzikoa...)
• Zenbakizkoak: Jokalariek berei dagokien koloreko fitxak ezarri beharrean, zenbakiak ezartzen dituzte taulan, 1etik 9ra. Bere txandan, jokalari batek nahi duen zenbakia jartzen du libre den posizioan (ezarriak direnak errepikatu gabe). Helburu ezberdinekin joka daiteke: 15 batura duen lerroa sortzeko, jokalari batek batura bikoitia eta besteak bakoitia sortzeko...

Oharrak eta erreferentziak

1. Euskaltzaindia: «artzain» sarrera, Hiztegi Batua.
2. (Ingelesez) Tic Tac Toe Strategy Guide, ChessandPoker.com. 2009-06-19.
3. Parentesien arteko zifrak zenbatgarren mugimendua den adierazten du.
4. Kontuan hartu behar da garapen ezberdinak zenbatzen ari dela, eta ez 9 gelaxken konfigurazio ezberdin guztiak. Izan ere, gerta liteke bi jokaldi edo garapen ezberdinek gelaxkak modu berean betetzea. Jokalariak egin ditzakeen burugabeko mugimenduak, irabazia eskura izanda ere, ere aukeratzat hartzen dira.
5. (Ingelesez) Tic tac Toe, Mathematical Recreations. 2009-06-19.
6. (Ingelesez) How many Tic-Tac-Toe (noughts and crosses) games are possible?. ., Henry Bottomley. 2009-06-19.

Kanpo estekak

• Datuak: Q210339
• Multimedia: Tic Tac Toe / Q210339