Gamma funtzio

Matematikan, gamma funtzioa faktorial kontzeptua zenbaki erreal eta konplexuetara zabaltzen duen aplikazioa da.^[1] Greziako gamma letra maiuskularen sinboloarekin adierazten da: ${\displaystyle \Gamma }$.

Gamma funtzioa ardatz errealean

Notazioa Adrien-Marie Legendre-k proposatu zuen. Zenbaki konplexuaren zati erreala ${\displaystyle z}$ positiboa bada, integralak

${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\;dt}$

guztiz bat egiten du; integral hori plano konplexu osora zabal daiteke, negatibo eta zero diren osoetan izan ezik. Orduan${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}$

${\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!}$

funtzio horrek faktorearekin duen erlazioa erakusten digu. Hain zuzen, gamma funtzioak faktorialaren kontzeptu ${\displaystyle z}$-ren edozein balio konplexutara hedatzen du. Gamma funtzioa probabilitate-banaketaren zenbait funtziotan agertzen da, eta, beraz, nahiko erabilia da bai probabilitatean, bai estatistikan, bai konbinatorian.

Hurbilketak

Gamma funtzioaren modulua plano konplexuan

Gamma funtzioa zenbakiz kalkula daiteke zehaztasun arbitrarioarekin Stirling-en formula, Lanczos hurbilketa edo Spouge hurbilketa erabilita.^[2]

1/24ren multiplo osoak diren argumentuetarako, gamma funtzioa azkar ebalua daiteke batezbesteko aritmetiko geometrikoen iterazioak erabiliz.

Gamma funtzioa eta faktoriala oso azkar hazten direnez, argumentu handietarako, konputazio-programa askok gamma funtzioaren logaritmoa itzultzen duten funtzioak dituzte^[3]. Polikiago hazten da, eta konbinazio-kalkuluetan oso erabilgarria da, balio handiak biderkatu eta zatitzetik logaritmoak batu edo kentzera pasatzen baita.

Ikus, gainera

• Faktoriala
• Stirling-en hurbilketa