Stirlingen hurbilketa

Matematikaren alorrean, Stirlingen hurbilketa edo Stirlingen formula deritzona, faktorialak hurbiltzeko erabiltzen den formula bat da. Beste era batera esanda, zenbaki altuen faktoriala kalkulatzea ez da batere erraza eta formula honek balio altu horretatik oso hurbil dagoen zenbaki bat itzultzen du. Hurbilketa hau oso zehatza eta erabilgarria da balio handiko zenbakien faktoriala lortzeko edota adierazpen bat beste adierazpen hurbil batera murrizteko.

James Stirling, XVIII. mendeko matematikari eskoziarrari esker, n infinitura doanean ondoko limitea dugu:

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{n! \over {\sqrt {2\pi n}}\;\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}=1}$

Stirling-en hurbilketa

Beraz, esan dezakegu n zenbaki altu baten faktorialaren hurbilketa ondokoa dela:

${\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}.}$

Era berean, faktorialen logaritmoak kalkulatzeko ere honela erabili daiteke:

${\displaystyle \ln n!=n\ln n-n}$

Errorea

Nahiz eta formulak oso zehatzak izan, hurbilketa diren momentutik errore bat dute. Errore hau n zenbakia handitzean txikitu egiten da, Schröder matematikari alemanak hurbilketen zehaztasunaren ondoko zenbakizko ebaluazioa egin zuen ^[1]:

n	n!	${\displaystyle {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}$	Errorea
1	1	0,922	7,7%
10	3628800	3598696	0,83%
100	9 x 10157	9 x 10157	0,083%

Historia

Abraham de Moivre izan zen formula hau aurkitu zuen lehen matematikaria, honela aurkeztu zuen bere liburu batean:

${\displaystyle n!\sim [konstantea].n^{n+{\frac {1}{2}}}.e^{-n}}$

Halaber, Stirlingek konstate horren ekarpena egin zuen, ${\displaystyle {\sqrt {2\pi }}}$, eta formularen izena bereganatu zuen.