Octodecágono

En geometría, un octodecágono u octadecágono es un polígono de 18 lados y 18 vértices.

Octodecágono
Un octodecágono regular
Características
Tipo	Polígono regular
Lados	18
Vértices	18
Grupo de simetría	${\displaystyle D_{18}}$, orden 2x18
Símbolo de Schläfli	{18}, t{9} (octodecágono regular)
Diagrama de Coxeter-Dynkin
Polígono dual	Autodual
Área	${\displaystyle A={\frac {18}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{18}}}$ (lado ${\displaystyle a}$)
Ángulo interior	160°
Propiedades
Convexo, isogonal, cíclico
[editar datos en Wikidata]

Propiedades

Un octodecágono tiene 135 diagonales, resultado que se puede obtener aplicando la ecuación general para determinar el número de diagonales de un polígono, ${\displaystyle D=n(n-3)/2}$; siendo el número de lados ${\displaystyle n=18}$, tenemos:

${\displaystyle D={\frac {18(18-3)}{2}}=135}$

La suma de todos los ángulos internos de cualquier octodecágono es 2880 grados o ${\displaystyle 16\pi }$ radianes.

Octodecágono regular

Un octodecágono regular y sus ángulos principales

Octodecágono con sus 135 diagonales

Un octodecágono regular es el que tiene todos sus lados de la misma longitud y todos sus ángulos internos iguales. Cada ángulo interno del octodecágono regular mide 160º u ${\displaystyle 8\pi /9}$ rad. Cada ángulo externo del octodecágono regular mide 20º o ${\displaystyle \pi /9}$ rad.

Al multiplicar la longitud t de un lado de un octodecágono regular por dieciocho (el número de lados n del polígono) obtendremos la longitud de su perímetro P.

${\displaystyle P=n\cdot t=18\ t}$

El área A de un octodecágono regular con lado de longitud a se obtiene de la siguiente forma:

${\displaystyle A={\frac {18(t^{2})}{4\tan({\frac {\pi }{18}})}}\simeq 25,5208\ t^{2}}$

donde ${\displaystyle \pi }$ es la constante pi y ${\displaystyle tan}$ es la función tangente calculada en radianes.

Si se conoce la longitud de la apotema a del polígono, otra alternativa para calcular el área es:

${\displaystyle A={\frac {P\cdot a}{2}}={\frac {18(t)\ a}{2}}=9(t\cdot a)}$

Construcción

Dado que 18=2×3², un octadecágono regular no puede ser construible usando solamente regla y compás.^[1] Sin embargo, se puede construir usando el método neusis, o una trisección del ángulo con un dispositivo trisector.

Octadecágono, una construcción exacta basada en la trisección del ángulo de 120° mediante un trisector. La animación dura 1 min y 34 s

La siguiente construcción aproximada es muy similar a la del eneágono, ya que un octadecágono puede construirse como un eneágono truncado. También es factible con el uso exclusivo de regla y compás.

Reducir el tamaño del ángulo AMC (de 60°) mediante cuatro bisecciones consecutivas y determinar la tercera parte del arco MON mediante una solución aproximada entre las bisectrices w3 y w4. Para ello, se traza la recta auxiliar g (que pasa por O y por N), que sirve para determinar la tercera parte de la distancia entre O y N mediante otra construcción auxiliar (no representada), que permite determinar el punto Q y luego trasladarlo hasta el R. Así, se obtiene el arco circular AMR, que se aproxima muy notablemente al águlo de 20° buscado. ${\displaystyle \scriptstyle \angle {}}$ AMR = 19,999999994755615...° 360°÷18=20° ${\displaystyle \scriptstyle \angle {}}$ AMR-20°=-5,244...E-9° Ejemplo para ilustrar el error: En una circunferencia circunscrita de radio r = 100.000 km, el error absoluto del lado obtenido sería de aproximadamente -9 mm. Consúltese también en wikilibros Cálculo del octodecágono (Berechnung, en alemán) 6.0 ${\displaystyle \scriptstyle \angle {}}$ JMR equivalente ${\displaystyle \scriptstyle \angle {}}$ AMR.

Simetría

Simetrías de un octadecágono regular. Los vértices están coloreados por sus posiciones de simetría. Los ejes de simetría azules se dibujan a través de los vértices y los morados a través de los lados. El orden de giro figura en el centro

El octodecágono regular posee simetría diedral Dih₁₈ de orden 36. Incluye 5 subgrupos de simetría diedrales: Dih₉, (Dih₆, Dih₃) y (Dih₂ Dih₁), y 6 simetrías cíclicas: (Z₁₈, Z₉), (Z₆, Z₃) y (Z₂, Z₁). Las 15 clases de simetría se materializan en 12 tipos de formas de octodecágono distintas.

John Conway clasificó estas simetrías usando una letra y el orden de la simetría a continuación. Asignó la letra r al grupo de simetría de la figura regular; y en el caso de los subgrupos utilizó la letra d (de diagonal) para las figuras con ejes de simetría solo a través de sus vértices; p para figuras con ejes de simetría solo a través de ejes perpendiculares a sus lados; i para figuras con ejes de simetría tanto a través de vértices como a través de centros de lados; y g para aquellas figuras solo con simetría rotacional. Con a1 se etiquetan aquellas figuras con ausencia de simetría. Los tipos de simetrías más bajos permiten disponer de uno o más grados de libertad para definir distintas figuras irregulares.^[2] Solo el subgrupo g18 no tiene grados de libertad, pero puede verse como un grafo dirigido. (Véase un ejemplo en la Teoría de grupos de John Conway)

Disección

18-gono descompuesto con 144 rombos

Harold Scott MacDonald Coxeter estableció que cada zonágono (un 2m-gono cuyos lados opuestos son paralelos y de igual longitud) se puede diseccionar en m(m-1)/2 paralelogramos.^[3] En particular, esto es cierto para los polígonos regulares con muchos lados, en cuyo caso los paralelogramos son todos rombos. Para el octodecágono regular, m=9, y se puede dividir en 36, formando 4 conjuntos de 9 rombos. Esta descomposición se basa en una proyección con forma de polígono de Petrie de un eneracto, con 36 de sus 4608 caras. La lista A006245 enumera el número de soluciones como 112018190, incluidas rotaciones de hasta 18 veces y formas quirales en reflexión.

Disección en 36 rombos

Uso

Un triángulo equilátero, y un nonágono y un octadecágono regulares, pueden rodear completamente un punto en el plano, una de las 17 combinaciones diferentes de polígonos regulares con esta propiedad.^[4] Sin embargo, este patrón no se puede extender a un teselado arquimediano del plano: debido a que el triángulo y el nonágono tienen ambos un número impar de lados, ninguno de ellos puede estar completamente rodeado por un anillo alternando los otros dos tipos de polígono.

El octadecágono regular puede teselar el plano con espacios hexagonales cóncavos. Y otro mosaico se puede lograr mezclando nonágonos y huecos octogonales. El primer mosaico está relacionado con un teselado hexagonal truncado y el segundo con el teselado trihexagonal truncado.

Figuras relacionadas

Un octodecagrama es un polígono en forma de estrella de 18 lados, representado por el símbolo {18/n}. Hay dos estrellas regulares: {18/5} y {18/7}, que utilizan los mismos puntos, pero conectan cada quinto o séptimo puntos. También hay cinco compuestos: {18/2} se reduce a 2{9} o dos eneágonos, {18/3} se reduce a 3{6} o tres hexágonos, {18/4} y {18/8} son reducidos a 2{9/2} y 2{9/4} o dos eneagramas, {18/6} se reduce a 6{3} o 6 triángulos equiláteros, y finalmente {18/9} se reduce a 9{2} como nueve dígonos.

Compuestos y polígonos de estrella
n	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Forma	Polígono convexo	Compuestos			Polígono estrellado	Compuesto	Polígono estrellado	Compuesto
Imagen	{18/1} = {18}	{18/2} = 2{9}	{18/3} = 3{6}	{18/4} = 2{9/2}	{18/5}	{18/6} = 6{3}	{18/7}	{18/8} = 2{9/4}	{18/9} = 9{2}
Ángulo interior	160°	140°	120°	100°	80°	60°	40°	20°	0°

Los truncamientos más profundos del eneágono regular y los eneagramas pueden producir formas de octodecagramas intermedios isogonales (figura isogonal) con vértices igualmente espaciados y dos longitudes de arista. Otros truncamientos forman recubrimientos dobles: t{9/8} = {18/8} = 2{9/4}, t{9/4} = {18/4} = 2{9/2}, t{9/2} = {18/2} = 2{9}.^[5]

Truncamientos transitivos de vértice del eneágono y eneagramas
Cuasiregular	isogonal				Quasiregular Recubrimiento doble
t{9}={18}					t{9/8}={18/8} =2{9/4}
t{9/5}={18/5}					t{9/4}={18/4} =2{9/2}
t{9/7}={18/7}					t{9/2}={18/2} =2{9}

Polígonos de Petrie

El octodecágono regular es el polígono de Petrie para una serie de politopos de mayor dimensión, que se muestran en estos proyecciones oblicuas sobre el plano de Coxeter:

Polígonos de Petrie octodecagonales
A17	B9		D10		E7
símplex	9-ortoplex	eneracto	711	171	321	231	132

Referencias

1. Conway, John B. (2010), Mathematical Connections: A Capstone Course, American Mathematical Society, p. 31, ISBN 9780821849798..
2. John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, (2008) The Symmetries of Things, ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 20, Generalized Schaefli symbols, Types of symmetry of a polygon pp. 275-278)
3. Harold Scott MacDonald Coxeter, Mathematical recreations and Essays, Thirteenth edition, p.141
4. Dallas, Elmslie William (1855), The Elements of Plane Practical Geometry, Etc, John W. Parker & Son, p. 134..
5. The Lighter Side of Mathematics: Proceedings of the Eugène Strens Memorial Conference on Recreational Mathematics and its History, (1994), Metamorphoses of polygons, Branko Grünbaum

Bibliografía

• Octadecagon en Googlebooks

Enlaces externos

• Wikimedia Commons alberga una categoría multimedia sobre octodecágonos.
• Weisstein, Eric W. «Octadecagon». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.

• Datos: Q1054120
• Multimedia: 18-gons / Q1054120