Número perfecto unitario

Un número perfecto unitario es un número entero que es la suma de sus propios divisores unitarios positivos, sin incluir el número en sí (un divisor d de un número n es un divisor unitario si d y n/d no comparten ningún factor común). Algunos números perfectos no son números perfectos unitarios y algunos números perfectos unitarios no son números perfectos ordinarios.

Problemas no resueltos de la matemática: ¿Hay infinitos números perfectos unitarios?

Ejemplos conocidos

El número 60 es un número perfecto unitario, porque 1, 3, 4, 5, 12, 15 y 20 son sus propios divisores unitarios, y 1 + 3 + 4 + 5 + 12 + 15 + 20 = 60. Empezando desde el cinco, los únicos números perfectos unitarios conocidos, son ${\displaystyle 6=2\times 3}$, ${\displaystyle 60=2^{2}\times 3\times 5}$, ${\displaystyle 90=2\times 3^{2}\times 5}$, ${\displaystyle 87360=2^{6}\times 3\times 5\times 7\times 13}$ y ${\displaystyle 146361946186458562560000=2^{18}\times 3\times 5^{4}\times 7\times 11\times 13\times 19\times 37\times 79\times 109\times 157\times 313}$ (sucesión A002827 en OEIS). Las respectivas sumas de sus propios divisores unitarios son las siguientes:

• 6 = 1 + 2 + 3
• 60 = 1 + 3 + 4 + 5 + 12 + 15 + 20
• 90 = 1 + 2 + 5 + 9 + 10 + 18 + 45
• 87360 = 1 + 3 + 5 + 7 + 13 + 15 + 21 + 35 + 39 + 64 + 65 + 91 + 105 + 192 + 195 + 273 + 320 + 448 + 455 + 832 + 960 + 1344 + 1365 + 2240 + 2496 + 4160 + 5824 + 6720 + 12480 + 17472 + 29120
• 146361946186458562560000 = 1 + 3 + 7 + 11 + ... + 13305631471496232960000 + 20908849455208366080000 + 48787315395486187520000 (4095 divisores en la suma)

Propiedades

No hay números perfectos unitarios impares. Esto se debe a que 2^d*(n) divide la suma de los divisores unitarios de un número impar n, de modo que d*(n) es el número de factores primos distintos de n. Se obtiene este resultado porque la suma de todos los divisores unitarios es una función multiplicativa y se tiene que la suma de los divisores unitarios de una potencia prima p^a es p^a + 1 que es par para todos primos impares p. Por lo tanto, un número perfecto unitario impar debe tener solo un factor primo distinto, y no es difícil demostrar que una potencia de un número primo no puede ser un número perfecto unitario, ya que no cuenta con suficientes divisores.

No se sabe si hay o no infinitos números perfectos unitarios, o si hay más ejemplos más allá de los cinco ya conocidos. Un sexto de esos números tendría al menos nueve factores primos impares.^[1]

Referencias

1. Wall, Charles R. (1988). «New unitary perfect numbers have at least nine odd components». Fibonacci Quarterly 26 (4): 312-317. ISSN 0015-0517. MR 967649. Zbl 0657.10003.

Bibliografía

• Richard K. Guy (2004). Unsolved Problems in Number Theory. Springer Science+Business Media. pp. 84–86. ISBN 0-387-20860-7. Sección B3.
• Paulo Ribenboim (2000). My Numbers, My Friends: Popular Lectures on Number Theory. Springer-Verlag. p. 352. ISBN 0-387-98911-0.
• Sándor, József; Mitrinović, Dragoslav S.; Crstici, Borislav, eds. (2006). Handbook of number theory I. Dordrecht: Springer Science+Business Media. ISBN 1-4020-4215-9. Zbl 1151.11300.
• Sándor, Jozsef; Crstici, Borislav (2004). Handbook of number theory II. Dordrecht: Kluwer Academic. ISBN 1-4020-2546-7. Zbl 1079.11001.

• Datos: Q2370031