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poliedro convexo hecho de hexágonos y pentágonos De Wikipedia, la enciclopedia libre
En matemáticas, y más específicamente en combinatoria poliédrica, un poliedro de Goldberg es un politopo convexo cuyas caras son hexágonos y pentágonos. Fueron descritos por primera vez en 1937 por Michael Goldberg (1902-1990).[1] Están definidos por tres propiedades: cada cara es un pentágono o un hexágono, exactamente tres caras se encuentran en cada vértice y tienen simetría icosaédrica. No poseen necesariamente simetría especular; y por ejemplo GP(5,3) y GP(3,5) son quirales uno respecto al otro. Un poliedro de Goldberg es un poliedro conjugado de una esfera geodésica.
![]() GP(1,4)= {5+,3}1,4 |
![]() GP(4,4)= {5+,3}4,4 |
![]() GP(7,0)= {5+,3}7,0 |
![]() GP(3,5)= {5+,3}3,5 |
![]() GP(10,0)= {5+,3}10,0 Equilátero y esférico |
Una consecuencia de la característica de Euler es que un poliedro de Goldberg siempre tiene exactamente doce caras pentagonales. La simetría icosaédrica asegura que los pentágonos sean siempre regulares y que siempre haya 12 de ellos. Si los vértices no están restringidos a una esfera, el poliedro se puede construir con caras planas equiláteras (pero no en general equiangulares).
Ejemplos simples de poliedros de Goldberg incluyen el dodecaedro y el icosaedro truncado. Se pueden describir otras formas realizando el movimiento del caballo de ajedrez de un pentágono al siguiente: primero se deben dar m en una dirección; luego se debe girar 60° a la izquierda; y finalmente de deben dar n pasos. Tal poliedro se denota GP(m,n). Un dodecaedro es GP(1,0) y un icosaedro truncado es GP(1,1).
Se puede aplicar una técnica similar para construir poliedros con simetría tetraédrica y simetría octaédrica. Estos poliedros tendrán triángulos o cuadrados en lugar de pentágonos. Estas variaciones tienen subíndices de números romanos que indican el número de lados en las caras que no son hexagonales: GPIII(n,m), GPIV(n,m), y GPV(n,m).
El número de vértices, aristas y caras de GP(m,n) se puede calcular a partir de m y n, con T = m2 + mn + n2 = (m + n)2 − mn, dependiendo de uno de los tres sistemas de simetría.[2] El número de caras no hexagonales se puede determinar utilizando la característica de Euler, como se demuestra en el artículo correspondiente.
Simetría | Icosaédrica | Octaédrica | Tetraédrica |
---|---|---|---|
Base | Dodecaedro GPV(1,0)= {5+,3}1,0 | Cubo GPIV(1,0)= {4+,3}1,0 | Tetraedro GPIII(1,0)= {3+,3}1,0 |
Imagen | ![]() |
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Símbolo | GPV(m,n)= {5+,3}m,n | GPIV(m,n)= {4+,3}m,n | GPIII(m,n)= {3+,3}m,n |
Vértices | |||
Aristas | |||
Caras | |||
Caras por tipo | 12 {5} y 10(T − 1) {6} | 6 {4} y 4(T − 1) {6} | 4 {3} y 2(T − 1) {6} |
La mayoría de los poliedros de Goldberg se pueden construir utilizando la notación de poliedros de Conway a partir de semillas de (T)etraedro, (C)ubo y (D)odecaedro. El operador achaflanado, c, reemplaza todas las aristas por hexágonos, transformando GP(m,n) a GP(2m,2 n), con un multiplicador T de 4. El operador kis truncado, y = tk, genera GP(3,0), transformando GP(m, n) a GP(3m,3n), con un multiplicador T de 9.
Para formas de clase II, el operador dual kis, z = dk, transforma GP(a,0) en GP(a,a), con un multiplicador T de 3. Para formas de clase III, el operador girado, w, genera GP(2,1), con un multiplicador T de 7. Un generador de girado en sentido horario y antihorario, ww = wrw genera GP(7,0 ) en la clase I. En general, un girado puede transformar un GP(a,b) en GP(a + 3b,2ab) para a > b y la misma dirección quiral. Si se invierten las direcciones quirales, GP(a,b) se convierte en GP(2a + 3b,a − 2b) si a ≥ 2b, y GP(3a + b,2b − a) si a < 2b.
Frecuencia | (1,0) | (2,0) | (3,0) | (4,0) | (5,0) | (6,0) | (7,0) | (8,0) | (m,0) |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
T | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | m2 |
Icosaédrico (Goldberg) | ![]() Dodecaedro regular |
![]() Dodecaedro achaflanado |
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más |
Octaédrico | ![]() Cubo |
![]() Cubo achaflanado |
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más |
Tetraédrico | ![]() Tetraedro |
![]() Tetraedro achaflanado |
![]() |
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más |
Frecuencia | (1,1) | (2,2) | (3,3) | (4,4) | (5,5) | (6,6) | (7,7) | (8,8) | (m,m) | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
T | 3 | 12 | 27 | 48 | 75 | 108 | 147 | 192 | 3m2 | |
Icosaédrico (Goldberg) | ![]() Icosaedro truncado |
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más | |
Octaédrico | ![]() Octaedro truncado |
![]() |
![]() |
![]() |
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más | ||||
Tetraédrico | ![]() Tetraedro truncado |
![]() |
más |
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