parta ordo, kiu kapablas kompari ajnan paron de elementoj From Wikipedia, the free encyclopedia
En matematiko, totala ordo[1], tuteca ordo, linia ordo aŭ simpla ordo sur aro X estas ordorilato, kiu ordigas ajnan paron da elementoj, tiel ke inter ajnaj du elementoj, unu estas pli granda ol la alia.
Sur aro , totala ordo estas parta ordo kiu estas totala. Alivorte, ĝi estas duargumenta rilato sur X, kiu estas antisimetria, transitiva, kaj tuteca. Tio signifas ke se ni nomos iun tian rilaton per ≤ , tiam jenaj propozicioj veros por ĉiuj a, b kaj c en X:
Aro parigita kun asociita totala ordo sur ĝi nomiĝas totale ordita aro,[2] linie ordita aro, simple ordita aro, aŭ ĉeno.
Rilata propraĵo de tuteco povas esti priskribita tiamaniere: ke ĉiu paro de eroj en la aro estas reciproke komparebla sub la rilato.
Rimarku ke la kondiĉo de totaleco implicas refleksivecon, tio estas a ≤ a. Tial totala ordo estas ankaŭ parta ordo, tio estas, duargumenta rilato kiu estas refleksiva, antisimetria kaj transitiva. Totala ordo povas ankaŭ esti difinita kiel parta ordo, kiu estas totala.
Alternative, oni povas difini totale ordan aron kiel aparta speco de latiso, nome unu en kiu ni havas
Ni tiam skribas a ≤ b se kaj nur se a = a ∧ b. Sekvas, ke totale ordita aro estas distribueca latiso.
Se a kaj b estas membroj de aro kiu estas totale ordigita per ≤, tiam ni povas difini duargumentan rilaton a < b kiel: a ≤ b kaj a ≠ b. Ĉi tiu rilato estas transitiva (a < b kaj b < c implicas ke a < c) kaj, malkiel ≤, triĥotoma (t.e., por ajna elekto de a kaj b validas precize unu el la tri ebloj: a < b, b < a aŭ a = b).
Ni povas procedi laŭ la alia vojo kaj komenci, difinante rilaton < kiel transitivan triĥotoman duargumentan rilaton; tiam la rilato a ≤ b difinita kiel kiel "a < b aŭ a = b", estas totala ordo.
Totale ordaj aroj formas plena subkategorio de la kategorio de parte ordaj aroj, kun la strukturkonservantaj transformoj estante mapoj kiuj respektas la ordojn, t.e. mapojn f tiaj ke se a ≤ b tiam f(a) ≤ f(b).
Reciproke unuvalora surĵeto inter du totale ordaj aroj kiu respektas la du ordojn estas izomorfio en ĉi tiu kategorio.
Por ĉiu totale ordita aro X ni povas difini la malfermitajn intervalojn (a, b) = {x : a < x kaj x < b}, (−∞, b) = {x : x < b}, (a, ∞) = {x : a < x} kaj (−∞, ∞) = X. Ni povas uzi malfermitajn intervalojn por difini topologion sur ĉiu totale ordita aro, la ordan topologion.
Notu ke la formala difino de ordita aro kiel aro parigita kun ordo garantias, ke ekzistas unika ordotopologio sur ajna totale ordita aro. Tamen, en praktiko, la distingo inter aro kiu havas ordon sur ĝi difinitan kaj la paro de la aro kaj asociita ordo estas kutime ignorata. Tial por eviti konfuzon kiam pli ol unu ordo estas uzata en kune kun aro estas ordinare paroli pri la ordotopologio produktita de aparta ordo. Ekzemple, se N estas la naturaj nombroj, < estas malpli ol kaj > pli granda ol, ni povus paroli pri ordotopologio sur N produktita de < kaj pri la ordotopologio sur N produktita de > (en ĉi tiu kazo tiuj du topologioj estas identaj, sed tio ne validas ĝenerale).
La ordotopologio povas esti montrita herede normala.
Totale ordita aro estas kompleta, se ĉiu subaro kiu havas superan limon, ankaŭ havas malplejan superan limon. Estas nombro de rezultoj rilatantaj propraĵojn de la ordotopologio al la kompleteco de X:
Dum el difina vidpunkto, ĉeno nure estas sinonimo por totale ordita aro, la termino kutime priskribas totale orditan subaron de iu parta ordo. Tial la reelaj nombroj kredeble priskribiĝus kiel totale ordita aro. Tamen, se ni konsiderus ĉiujn subarojn de la entjeroj parte orditaj per inkludado tiam la totale ordita aro sub inkludo { In : n estas natura nombro} difinita supre en ekzemplo ofte nomiĝus ĉeno.
La emo uzi la vorton ĉeno por nomi totale orditan subaron de parta ordo verŝajne estas pro la grava rolo kiun tiaj totale orditaj subaroj ludas en la Lemo de Zorn.
Simpla argumento per nombrado konfirmos, ke kiu ajn finia totala ordo (kaj tial kiu ajn subaro de tiu) havas plej malgrandan eron. Tial ĉiu finia totala ordo estas fakte bona ordo. Ĉu per rekta pruvo, ĉu per observado, ke ĉiu bona ordo estas orde izomorfia al orda numero, oni povas montri, ke ĉiu finia totala ordo estas orde izomorfia al komenca segmento de la naturaj nombroj ordita per <. Alivorte, totala ordo kun k eroj produktas reciproke unuvalora surĵeto per la unuaj k naturaj numeroj. Tial estas ordinare indeksi finiajn totalajn ordojn aŭ nombreblajn bonajn ordojn per naturaj numeroj per maniero kiu respektas la ordon.
Komparu kun parta ordo, al kiu mankas la tria kondiĉo. Ekzemplo de parta ordo estas la rilato okazis-antaŭe.