Τομή Ντέντεκιντ

Στα μαθηματικά, τομή Ντέντεκιντ (γερμανικά: Dedekind) από το όνομα του Γερμανού μαθηματικού Ρίχαρντ Ντέντεκιντ,^[1] είναι ένα υποσύνολο Τ των ρητών αριθμών με τις εξής ιδιότητες:

• ${\displaystyle T\neq \emptyset }$, ${\displaystyle T\neq \mathbb {Q} }$
• αν ${\displaystyle p\in T}$, ${\displaystyle q\in \mathbb {Q} }$ και ${\displaystyle q<p}$, τότε ${\displaystyle q\in T}$
• αν ${\displaystyle p\in T}$, τότε υπάρχει ${\displaystyle s\in T}$ τέτοιο ώστε ${\displaystyle p<s}$

Χρήση

Η ιδέα αυτή των τομών μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να αποδειχθεί η πληρότητα του συνόλου των πραγματικών αριθμών χωρίς το αξίωμα της επιλογής. Όλοι οι ρητοί αριθμοί περιγράφονται από μια τομή αλλά μπορούν να βρεθούν τομές οι οποίες δεν αντιστοιχούν σε κανένα ρητό αριθμό. Αυτές οι τομές ορίζουμε να είναι οι άρρητοι αριθμοί. Έτσι η έννοια της τομής προσφέρει ένα τρόπο κατασκευής των πραγματικών αριθμών από το σύνολο των ρητών, αν δεχθούμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμών είναι το σύνολο όλων των δυνατών τομών.

Παραπομπές

1. Bertrand, Joseph (1822-1900) Auteur du texte (1849). Traité d'arithmétique / par Joseph Bertrand,... (στα Γαλλικά). Paris: Hachette. σελ. 203. An incommensurable number can be defined only by indicating how the magnitude it expresses can be formed by means of unity. In what follows, we suppose that this definition consists of indicating which are the commensurable numbers smaller or larger than it...