Ταυτότητα του Όιλερ

Στη μαθηματική ανάλυση, η ταυτότητα του Όιλερ , είναι η εξίσωση^{[1][2]:11[3]:16}

${\displaystyle e^{i\pi }+1=0,\,\!}$

όπου

${\displaystyle e\,\!}$ είναι ο αριθμός του Όιλερ, η βάση των φυσικών λογαρίθμων,

${\displaystyle i\,\!}$ είναι ο φανταστικός αριθμός του οποίου το τετράγωνο ισούται με μείον ένα, και

${\displaystyle \pi \,\!}$ ο λόγος του μήκους της περιφέρειας ενός κύκλου προς τη διάμετρό του.

Πήρε το όνομά της από τον Λέοναρντ Όιλερ και μερικές φορές είναι γνωστή και ως εξίσωση του Όιλερ.

Απόδειξη

Ο τύπος του Όιλερ για τυχαία γωνία.

Η ταυτότητα είναι μια ειδική περίπτωση του τύπου του Όιλερ, σύμφωνα με την οποία

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x\,\!}$

για κάθε πραγματικό αριθμό x και όπου οι μονάδες δίνονται σε ακτίνια. Συγκεκριμένα, αν

${\displaystyle x=\pi ,\,\!}$

τότε

${\displaystyle e^{i\pi }=\cos \pi +i\sin \pi .\,\!}$

Αφού

${\displaystyle \cos \pi =-1\quad }$και${\displaystyle \quad \sin \pi =0}$,

συνεπώς,

${\displaystyle e^{i\pi }=-1\,\!}$

που δίνει την ταυτότητα

${\displaystyle e^{i\pi }+1=0.\,\!}$

Ονομασία

Αν και ο Όιλερ έγραψε για τη φόρμουλά του συνδέοντας το e με τους όρους ημίτονο και συνημίτονο, δεν υπάρχει πουθενά αναφορά ότι ο ίδιος απέδειξε την απλοποιημένη μορφή της ταυτότητας. Ακόμα η ίδια η φόρμουλα είναι πιθανό να ήταν γνωστή πριν από τον Όιλερ. Είναι λοιπόν αδύνατο να απαντηθεί το ερώτημα αν η ταυτότητα μπορεί να αποδοθεί στον Όιλερ.

Δείτε επίσης

• Τύπος του Όιλερ
• e (μαθηματική σταθερά)

Παραπομπές

1. Χριστοδουλίδης, Κώστας. «Η ταυτότητα του Όιλερ» (PDF). Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Ανακτήθηκε στις 18 Μαρτίου 2023.
2. Σταματιάδης, Σταμάτης. «Εφαρμοσμένα Μαθηματικά: Σημειώσεις Διαλέξεων» (PDF). Τμήμα Επιστήμης και Τεχνολογίας Υλικών, Πανεπιστήμιο Κρήτης. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο (PDF) στις 26 Σεπτεμβρίου 2022. Ανακτήθηκε στις 18 Μαρτίου 2023.
3. Μερκουράκης, Σοφοκλής Κ. (2022). «Σημειώσεις Μιγαδικής Ανάλυσης» (PDF). Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Αθηνών. Ανακτήθηκε στις 18 Μαρτίου 2023.