From Wikipedia, the free encyclopedia
σ-άλγεβρα (σίγμα άλγεβρα) είναι μια άλγεβρα συνόλων (σύνολο από σύνολα στο οποίο μπορούμε να κάνουμε πράξεις μεταξύ των συνόλων) που είναι κλειστή ως προς τη συμπλήρωση και τις αριθμήσιμες ενώσεις των μελών της.
![]() |
Το λήμμα δεν περιέχει πηγές ή αυτές που περιέχει δεν επαρκούν. |
Η σ-άλγεβρα είναι πολύ χρήσιμο εργαλείο στα στοχαστικά μαθηματικά, κυρίως διότι αριθμήσιμες (το πολύ) το πλήθος συνολοθεωρητικές πράξεις μεταξύ συνόλων που ανήκουν στην ίδια σ-άλγεβρα δίνουν σύνολα που ανήκουν και αυτά στην ίδια σ-άλγεβρα. Οι σ-άλγεβρες είναι η βάση για τον ορισμό του χώρου των μαζών και των πιθανοτήτων.
Οι σ-άλγεβρες είναι αναγκαίες για την κατασκευή του μέτρου και του ολοκληρώματος κατά Λεμπέγκ.
Έστω Ω ένα σύνολο. Τότε η σ-άλγεβρα είναι μια μη κενή συλλογή υποσυνόλων του Ω έτσι ώστε:
1) Το Ω ανήκει στο
2) Αν το σύνολο Α ανήκει στο , τότε, και το συμπληρωματικό του Α ανήκει στο
3) Αν έχουμε μια ακολουθία συνόλων {, όπου n=1,2,...} στο τότε η ένωση των ανηκει επισης στο .
Από τον ορισμό προκύπτει ότι σε κάθε σ-άλγεβρα ανήκει το Ω και το κενό σύνολο. Επίσης καθε σ-άλγεβρα είναι ένα σύστημα Ντύνκιν.
Μια σ-άλγεβρα F είναι παραγόμενη από μια κλάση C όταν είναι η μικρότερη σ-άλγεβρα που την περιέχει. Συγκεκριμένα ορίζεται ως η τομή όλων των σ-αλγεβρών που περιέχουν την C.
σ-άλγεβρα Μπορέλ είναι μια σ-άλγεβρα η οποία είναι παραγόμενη από συλλογή τοπολογικών διαστημάτων.
Τυπικός ορισμός: σ-άλγεβρα Μπορέλ ή αλλιώς Μπορελιανή άλγεβρα είναι η παραγόμενη σ-άλγεβρα από την κλάση Pn όπου Pn={(a1,b1]x...x(an,bn]: ai<bi για κάθε i=1,2,...,n}U{κενό σύνολο}.
Η μπορελιανή άλγεβρα χωράει τεράστιο αριθμό υποσυνόλων του γι' αυτό και μας είναι εξαιρετικά χρήσιμη.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.