Μέτρο Χάουσντορφ
From Wikipedia, the free encyclopedia
Στα μαθηματικά, το μέτρο Χάουσντορφ[1][2] είναι μια γενίκευση των κλασικών εννοιών του εμβαδού και του όγκου σε μη ακέραιες διαστάσεις, συγκεκριμένα στα φράκταλ και στις διαστάσεις Χάουσντορφ τους. Είναι ένας τύπος εξωτερικού μέτρου, που πήρε το όνομά του από τον Φέλιξ Χάουσντορφ, που αποδίδει έναν αριθμό στο [0,∞] σε κάθε σύνολο στον ή, γενικότερα, σε κάθε μετρικό χώρο.
Το μηδενικής διάστασης μέτρο Χάουσντορφ είναι ο αριθμός των σημείων του συνόλου (αν το σύνολο είναι πεπερασμένο) ή ∞ αν το σύνολο είναι άπειρο. Αντίστοιχα, το μονοδιάστατο μέτρο Χάουσντορφ μιας απλής καμπύλης στο είναι ίσο με το μήκος της καμπύλης, και το δισδιάστατο μέτρο Χάουσντορφ ενός υποσυνόλου του
με μέτρο Λεμπέσγκ είναι ανάλογο με το εμβαδόν του συνόλου. Έτσι, η έννοια του μέτρου Χάουσντορφ γενικεύει το μέτρο Λεμπέσγκ και τις έννοιες της αρίθμησης, του μήκους και του εμβαδού. Γενικεύει επίσης τον όγκο. Στην πραγματικότητα, υπάρχουν μέτρα Χάουσντορφ d-διαστάσεων για οποιοδήποτε d ≥ 0, το οποίο δεν είναι απαραίτητα ακέραιος αριθμός. Αυτά τα μέτρα είναι θεμελιώδη στη γεωμετρική θεωρία μέτρου. Εμφανίζονται φυσικά στην αρμονική ανάλυση ή στη θεωρία δυναμικού.