![cover image](https://wikiwandv2-19431.kxcdn.com/_next/image?url=https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d9/KochFlake.svg/langel-640px-KochFlake.svg.png&w=640&q=50)
Διάσταση Χάουσντορφ
From Wikipedia, the free encyclopedia
Στα μαθηματικά, η διάσταση Χάουσντορφ είναι ένα μέτρο της τραχύτητας, ή πιο συγκεκριμένα, η διάσταση του φράκταλ, που παρουσιάστηκε το 1918 από τον μαθηματικό Φέλιξ Χάουσντορφ[2]. Παράδειγμα, η διάσταση Χάουσντορφ ενός σημείου είναι μηδέν, ενός ευθύγραμμου τμήματος είναι 1, ενός τετραγώνου είναι 2 και ενός κύβου είναι 3. Δηλαδή, για σύνολα σημείων που ορίζουν ένα λείο σχήμα ή ένα σχήμα που έχει μικρό αριθμό γωνιών -τα σχήματα της συμβατικής γεωμετρίας και της επιστήμης- η διάσταση Χάουσντορφ είναι ένας ακέραιος αριθμός που συμφωνεί με τη συνηθισμένη έννοια της διάστασης, γνωστή και ως τοπολογική διάσταση. Ωστόσο, έχουν επίσης αναπτυχθεί τύποι που επιτρέπουν τον υπολογισμό της διάστασης άλλων λιγότερο απλών αντικειμένων, όπου, αποκλειστικά και μόνο με βάση τις ιδιότητες της κλιμάκωσης και της αυτοομοιότητας, οδηγούμαστε στο συμπέρασμα ότι τα συγκεκριμένα αντικείμενα -συμπεριλαμβανομένων των φράκταλ- έχουν μη ακέραιες διαστάσεις Χάουσντορφ. Λόγω της σημαντικής τεχνικής προόδου που σημείωσε ο Αμπράμ Σαμόιλοβιτς Μπεζικόβιτς, η οποία επέτρεψε τον υπολογισμό των διαστάσεων για εξαιρετικά ακανόνιστα ή "τραχιά" σύνολα, η διάσταση αυτή αναφέρεται επίσης συνήθως ως διάσταση Χάουσντορφ-Μπεσίκοβιτς.
![Thumb image](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d9/KochFlake.svg/320px-KochFlake.svg.png)
Πιο συγκεκριμένα, η διάσταση Χάουσντορφ είναι ένας αριθμός διαστάσεων που σχετίζεται με έναν μετρικό χώρο, δηλαδή ένα σύνολο στο οποίο ορίζονται οι αποστάσεις μεταξύ όλων των μελών. Η διάσταση αντλείται από τους εκτεταμένους πραγματικούς αριθμούς, , σε αντίθεση με την πιο διαισθητική έννοια της διάστασης, η οποία δεν συνδέεται με γενικούς μετρικούς χώρους και παίρνει τιμές μόνο στους μη αρνητικούς ακέραιους αριθμούς.
Με μαθηματικούς όρους, η διάσταση Χάουσντορφ γενικεύει την έννοια της διάστασης ενός πραγματικού διανυσματικού χώρου. Δηλαδή, η διάσταση Χάουσντορφ ενός n-διάστατου χώρου εσωτερικού γινομένου ισούται με n. Αυτό υποκρύπτει την προηγούμενη δήλωση ότι η διάσταση Χάουσντορφ ενός σημείου είναι μηδέν, μιας γραμμής είναι ένα κ.λπ. και ότι τα ακανόνιστα σύνολα μπορούν να έχουν μη ακέραιες διαστάσεις Χάουσντορφ . Παραδείγματος χάριν, η νιφάδα του Κοχ που απεικονίζεται στα δεξιά κατασκευάζεται από ένα ισόπλευρο τρίγωνο- σε κάθε επανάληψη, τα τμήματα της γραμμής που το συνθέτουν χωρίζονται σε 3 τμήματα μοναδιαίου μήκους, το νεοδημιουργηθέν μεσαίο τμήμα χρησιμοποιείται ως βάση ενός νέου ισόπλευρου τριγώνου που δείχνει προς τα έξω, και αυτό το τμήμα βάσης στη συνέχεια διαγράφεται για να αφήσει ένα τελικό αντικείμενο από την επανάληψη μοναδιαίου μήκους 4.[3] Δηλαδή, μετά την πρώτη επανάληψη, κάθε αρχικό ευθύγραμμο τμήμα έχει αντικατασταθεί με Ν=4, όπου κάθε αυτοομοειδές αντίγραφο έχει μήκος 1/S = 1/3 όσο το αρχικό.[1] Με άλλη διατύπωση, πήραμε ένα αντικείμενο με ευκλείδεια διάσταση, D, και μειώσαμε τη γραμμική του κλίμακα κατά 1/3 σε κάθε κατεύθυνση, έτσι ώστε το μήκος του να αυξηθεί σε N=SD.[4] Αυτή η εξίσωση λύνεται εύκολα για το D, δίνοντας τον λόγο των λογαρίθμων (ή των φυσικών λογαρίθμων) που εμφανίζονται στα σχήματα, και δίνοντας -στην περίπτωση του Κοχ και σε άλλες περιπτώσεις κλασμάτων- μη ακέραιες διαστάσεις για αυτά τα αντικείμενα.
Η διάσταση Χάουσντορφ είναι διάδοχος της απλούστερης, αλλά συνήθως ισοδύναμης, διάστασης box-counting ή διάστασης Μινκόφσκι-Μπουλιγκάντ.