Ισομορφισμός
From Wikipedia, the free encyclopedia
Στα μαθηματικά, ένας ισομορφισμός (από τα αρχαία ελληνικά ίσος και μορφή) είναι ένας ομομορφισμός ή μορφισμός (δηλαδή για παράδειγμα μια μαθηματική απεικόνιση) όπου ισχύει το αντίστροφο.[σημ. 1] Δύο μαθηματικά αντικείμενα είναι ισομορφικά εάν υπάρχει ένας ισομορφισμός μεταξύ τους. Ένας αυτομορφισμός είναι ένας ισομορφισμός του οποίου η αρχική απεικόνιση και η απεικόνιση που προκύπτει μέσω του ισομορφισμού συμπίπτουν. Το ενδιαφέρον των ισομορφισμών έγκειται στο γεγονός ότι δύο ισομορφικά αντικείμενα δεν μπορούν να διαχωριστούν, χρησιμοποιώντας μόνο τις ιδιότητες που χρησιμοποιούνται για να καθορίσουν τον μορφισμό: έτσι ισομορφικά αντικείμενα μπορoύν να θεωρηθούν το ίδιο, αρκεί να αναλογιστεί κανείς μόνο, τις ιδιότητες αυτές καθώς και τις συνέπειές τους.
Αυτό το λήμμα χρειάζεται επιμέλεια ώστε να ανταποκρίνεται σε υψηλότερες προδιαγραφές ορθογραφικής και συντακτικής ποιότητας ή μορφοποίησης. Αίτιο: μετάφραση, σύνδεσμοι, ορολογία Για περαιτέρω βοήθεια, δείτε τα λήμματα πώς να επεξεργαστείτε μια σελίδα και τον οδηγό μορφοποίησης λημμάτων. |
Για τις περισσότερες αλγεβρικές κατασκευές, συμπεριλαμβανομένων των ομάδων και των δακτυλίων, ένας ομομορφισμός είναι ένας ισομορφισμός αν και μόνο αν είναι (1-1) και επί.
Στην τοπολογία, όπου οι μορφισμοί είναι συνεχείς συναρτήσεις, οι ισομορφισμοί επίσης ονομάζονται και ομοιομορφισμοί ή αμφισυνεχείς συναρτήσεις. Στην μαθηματική ανάλυση, όπου οι μορφισμοί είναι διαφορίσιμες συναρτήσεις, ισομορφισμοί ονομάζονται και μορφισμοί διαφορικών.
Ένας κανονικός ισομορφισμός είναι μια κανονική αντιστοίχιση όπου είναι ένας ισομορφισμός. Δύο αντικείμενα είναι κανονικώς ισομορφικά, εάν υπάρχει ένας κανονικός ισομορφισμός μεταξύ τους. Για παράδειγμα, την κανονική απεικόνιση από ένα πεπερασμένο-διαστατό διανυσματικό χώρο V σε ένα δεύτερο διπλό διάστημα, είναι ένα κανονικός ισομορφισμός: από την άλλη , ο διανυσματικός χώρος V είναι ισομορφικός με το δυικό χώρο του, αλλά όχι κανονικώς,γενικά.
Οι ισομορφισμοί έχουν επισημοποιηθεί χρησιμοποιώντας την θεωρία κατηγοριών. Ένας μορφισμός f : X → Y σε μια κατηγορία είναι ένας ισομορφισμός, αν επιτρέπει μια αμφίδρομη αντίστροφή, πράγμα που σημαίνει ότι υπάρχει και ένας άλλος μορφισμός g : Y → X σε αυτήν την κατηγορία έτσι ώστε gf = 1X και fg = 1Y όπου 1Χ και 1Y είναι ο ταυτοτικός μορφισμός των X και Y, αντίστοιχα.[1]