Ομάδα
From Wikipedia, the free encyclopedia
Στα μαθηματικά, ομάδα είναι ένα σύνολο στοιχείων εφοδιασμένο με μία πράξη, η οποία συνδυάζει δύο στοιχεία του συνόλου για να σχηματίσουν ένα τρίτο στοιχείο που ανήκει επίσης στο σύνολο, ικανοποιώντας ταυτόχρονα τέσσερις συνθήκες που ονομάζονται αξιώματα της ομάδας και αναφορικά είναι η κλειστότητα, η προσεταιριστική ιδιότητα, η ύπαρξη ουδέτερου στοιχείου και η ύπαρξη αντιστρόφων. Ένα από τα πιο γνώριμα παραδείγματα ομάδας είναι το σύνολο των ακεραίων με την πράξη της πρόσθεσης. Η πρόσθεση δύο οποιονδήποτε ακεραίων έχει ως αποτέλεσμα ακέραιο. Η αφηρημένη διατύπωση των αξιωμάτων της ομάδας, τις καθιστά ένα κυρίαρχο εργαλείο της έρευνας στους περισσότερους κλάδους της αφηρημένης άλγεβρας αλλά και σε άλλους τομείς.[1][2]
Οι ομάδες συνδέονται στενά με την έννοια της συμμετρίας. Για παράδειγμα μια συμμετρική ομάδα κωδικοποιεί τα συμμετρικά χαρακτηριστικά ενός γεωμετρικού αντικειμένου: η ομάδα απαρτίζεται από το σύνολο των μετασχηματισμών που αφήνουν αναλλοίωτο το αντικείμενο και την πράξη που συνδυάζει δύο τέτοιους μετασχηματισμούς εκτελώντας τον ένα μετά τον άλλο. Οι ομάδες Lie είναι συμμετρικές ομάδες που χρησιμοποιούνται σε μοντέλα σωματιδιακής φυσικής, οι σημειακές ομάδες χρησιμεύουν στην κατανόηση συμμετρικών φαινομένων της μοριακής χημείας, οι ομάδες του Poincaré μπορούν να εκφράσουν τη φυσική συμμετρία που υποβόσκει στην ειδική σχετικότητα. Η ιδέα της ομάδας ξεκίνησε από τις πολυωνυμικές εξισώσεις, με τον Εβαρίστ Γκαλουά (Évariste Galois) στο 1830. Με τη συνδρομή και άλλων κλάδων όπως η θεωρία αριθμών και η γεωμετρία, η έννοια της ομάδας γενικεύθηκε και θεμελιώθηκε γύρω στο 1870. Η σύγχρονη θεωρία ομάδων —με αυστηρή μαθηματική πειθαρχεία—μελετά τις ομάδες αυτές καθαυτές. Για να ερευνήσουν τις ομάδες οι μαθηματικοί επινόησαν διάφορες έννοιες για να σπάσουν τις ομάδες σε μικρότερα καλύτερα κατανοητά κομμάτια. Τέτοιες έννοιες είναι οι υποομάδες, οι ομάδες πηλίκο και οι απλές ομάδες. Επιπλέον των αφηρημένων ιδιοτήτων τους, οι ειδικοί της θεωρίας ομάδων μελετούν επίσης τους διάφορους τρόπους με τους οποίους μπορεί να οριστεί συγκεκριμένα μια ομάδα (τις παραστάσεις μιας ομάδας), τόσο από θεωρητική όσο και από υπολογιστική πλευρά. Μια ιδιαίτερα πλούσια θεωρία έχει αναπτυχθεί για τις πεπερασμένες ομάδες, η οποία κορυφώθηκε με την μνημειώδη ταξινόμηση των πεπερασμένων απλών ομάδων που ανακοινώθηκε το 1983[3] και ολοκληρώθηκε το 2004.[4] Από τα μέσα του 1980, η γεωμετρική θεωρία ομάδων, η οποία μελετά τη δράση ομάδων (συνήθως άπειρων) επί γραφημάτων έχει εξελιχθεί σε έναν ιδιαίτερα ενεργό κλάδο της θεωρίας ομάδων, λόγω και της σχέσης της με την αλγεβρική τοπολογία.