From Wikipedia, the free encyclopedia
Στα μαθηματικά, μια ακολουθία είναι μια διατεταγμένη λίστα αντικειμένων. Μια ακολουθία έχει όρους και το πλήθος των όρων της (που ενδέχεται να είναι και άπειρο) ονομάζεται μήκος της ακολουθίας. Σε αντίθεση με τα σύνολα σε μια ακολουθία έχει σημασία η διάταξη των αντικειμένων της (πρώτος όρος, δεύτερος, τρίτος και ούτω καθ' εξής). Επιπλέον δεν υπάρχει περιορισμός όσον αφορά το πόσες φορές μπορεί να εμφανίζεται ένα αντικείμενο μιας ακολουθίας (σε αντίθεση και πάλι με τα σύνολα όπου ένα αντικείμενο μπορεί να εμφανίζεται το πολύ μια φορά).
Οι ακολουθίες διακρίνονται ως προς το πλήθος των όρων τους, στις άπειρες ακολουθίες και στις πεπερασμένες.[1]:51 Σχεδόν αποκλειστικά, στην μαθηματική ανάλυση ενδιαφέρον έχουν οι πρώτες.
Ονομάζουμε ακολουθία ή πιο συγκεκριμένα άπειρη ακολουθία οποιαδήποτε συνάρτηση α από το σύνολο των φυσικών σε ένα σύνολο Α, δηλαδή κάθε συνάρτηση της μορφής:[1]: 50 [2]:1
Συνηθίζεται να συμβολίζουμε την τιμή μιας ακολουθίας, για κάθε στοιχείο ως , αντί του , όπως συνηθίζεται γενικά για τις συναρτήσεις. Αν το σύνολο είναι ίσο με το σύνολο των πραγματικών αριθμών τότε η ακολουθία ονομάζεται πραγματική ακολουθία.
Ονομάζουμε πεπερασμένη ακολουθία ή λίστα στοιχείων οποιαδήποτε συνάρτηση από το σύνολο σε ένα σύνολο , δηλαδή κάθε συνάρτηση της μορφής:[3]:97
Όλες οι ακολουθίες ως συναρτήσεις είναι σύνολα διατεταγμένων ζευγών. Παρόλα αυτά μια πεπερασμένη ακολουθία μπορούμε να την αντιμετωπίζουμε ως διατεταγμένη n-άδα για ευκολία και επομένως μπορούμε να τη συμβολίσουμε με . Παρόμοια, για μια άπειρη ακολουθία μπορούμε να χρησιμοποιούμε το συμβολισμό όπου είναι ο πρώτος όρος της, ο δεύτερος κοκ. Επίσης μια άπειρη ακολουθία συμβολίζεται και ως , ή για συντομία .
Θεωρούμε την ακολουθία:
με όρους:
Είναι εύκολο να παρατηρήσει κανείς ότι οι όροι της ακολουθίας πλησιάζουν ολοένα και περισσότερο το 0 καθώς ο δείκτης της αυξάνεται. Για τη συγκεκριμένη ακολουθία μπορούμε επίσης να παρατηρήσουμε ότι για καμιά τιμή του δεν θα υπάρξει όρος (ίσος ή) μικρότερος του μηδενός. Θα μπορούσαμε λοιπόν να πούμε ότι η ακολουθία μας δεν μπορεί να ξεπεράσει το μηδέν, με άλλα λόγια ότι έχει όριο τον αριθμό 0.
Ένας άτυπος ορισμός του ορίου ακολουθίας είναι ο εξής: μια ακολουθία λέμε ότι έχει όριο ή ότι συγκλίνει σε ένα αριθμό , όταν οι όροι της πλησιάζουν όλο και περισσότερο τον αριθμό αυτό καθώς ο δείκτης της αυξάνεται απεριόριστα.
Ο αυστηρός ορισμός της σύγκλισης μιας ακολουθίας σε έναν πραγματικό αριθμό είναι ο εξής: λέμε ότι ο αριθμός είναι όριο της ακολουθίας αν για κάθε υπάρχει (τουλάχιστον ένας) φυσικός αριθμός τέτοιος, ώστε για κάθε να ισχύει:[4]:380
Σημειώνουμε ότι στον παραπάνω ορισμό, ο αριθμός εξαρτάται από την επιλογή του . Για το όριο χρησιμοποιούμε τον παρακάτω συμβολισμό:
Στην περίπτωση που δεν υπάρχει αριθμός που να ικανοποιεί τον παραπάνω ορισμό, λέγεται ότι η ακολουθία αποκλίνει. Όταν συγκλίνει στο , λέγεται μηδενική ακολουθία.[2]: 29 [4]: 369-370
Μια ιδιαίτερη περίπτωση αποκλίνουσας ακολουθίας είναι αυτή που συγκλίνει στο (αντίστοιχα στο ). Μια ακολουθία συγκλίνει στο όταν για κάθε (οσοδήποτε μεγάλο) υπάρχει (τουλάχιστον ένας) φυσικός αριθμός τέτοιος, ώστε για κάθε να ισχύει: Αντιστοίχως, μια ακολουθία συγκλίνει στο όταν για κάθε (οσοδήποτε μικρό) υπάρχει (τουλάχιστον ένας) φυσικός αριθμός τέτοιος, ώστε για κάθε να ισχύει: [2]: 100-102
Φυσικά είναι δυνατόν μια ακολουθία να μην συγκλίνει ούτε σε πραγματικό αριθμό ούτε στο (μια τέτοια ακολουθία είναι π.χ. η ). Αν όμως μια ακολουθία έχει όριο είτε πραγματικό αριθμό είτε άπειρο, τότε αποδεικνύεται ότι αυτό είναι μοναδικό.[5]:34
Μία ακολουθία είναι:[6]:71[2]: 10-13 [4]: 361-362
Μία ακολουθία είναι:[6]: 75 [2]: 13-15 [4]: 357-358
Αν είναι μια ακολουθία και είναι φυσικοί αριθμοί, τότε η ακολουθία , δηλαδή η καλείται υπακολουθία της .[1]: 52 [6]: 78 Μια υπακολουθία μιας ακολουθίας αποτελεί κι αυτή ακολουθία. Επιπλέον, οι δείκτες των όρων μιας υπακολουθίας αποτελούν μια γνησίως αύξουσα ακολουθία φυσικών αριθμών.
Αν είναι υπακολουθία μιας συγκλίνουσας ακολουθίας , τότε συγκλίνει κι αυτή στο ίδιο όριο, στο οποίο συγκλίνει η .[6]: 85
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.