Συμπλήρωμα ως προς 2

Το συμπλήρωμα ως προς 2 (Αγγλικά: 2s' complement) ενός δυαδικού αριθμού ορίζεται ως η τιμή που παίρνουμε όταν αντιστρέφουμε όλα τα ψηφία (bits) του δυαδικού αριθμού (αλλάζοντας τα 0 σε 1 και το αντίστροφο - το 0 είναι το συμπλήρωμα του 1 και το αντίθετο) και στην συνέχεια προσθέτουμε το 1. Δηλαδή για να υπολογίσουμε το συμπλήρωμα ως προς 2, υπολογίζουμε πρώτα το συμπλήρωμα ως προς 1 και στην συνέχεια προσθέτουμε το 1. Στα ψηφιακά κυκλώματα υπολογιστών χρησιμοποιείται το συμπλήρωμα ως προς 2 για την αναπαράσταση αρνητικών αριθμών. Η πράξη της αφαίρεσης "στο χαρτί" από τον άνθρωπο χρησιμοποιεί την ιδέα του "δανεικού κρατούμενου" (Αγγλικά: borrow). Συγκεκριμένα όταν το ψηφίο του μειωτέου είναι μικρότερο από το αντίστοιχο ψηφίο του αφαιρετέου παίρνουμε ένα "δανεικό κρατούμενο". Οι πράξεις όπως η αφαίρεση απλοποιείται στα ψηφιακά κυκλώματα με την χρήση συμπληρώματος. Πρώτα ο αριθμός που πρέπει να αφαιρεθεί μετατρέπεται στην αρνητική αναπαράσταση συμπληρώματος ως προς 2 και στην συνέχεια η αφαίρεση γίνεται ως πρόσθεση. ^[1]

8-bit συμπλήρωμα ως προς 2 ακέραιοι

Bits	Τιμή χωρίς πρόσημο	Τιμή συμπληρώματος ως προς 2
0111 1111	127	127
0111 1110	126	126
0000 0010	2	2
0000 0001	1	1
0000 0000	0	0
1111 1111	255	−1
1111 1110	254	−2
1000 0010	130	−126
1000 0001	129	−127
1000 0000	128	−128

Το συμπλήρωμα ως προς 2 ενός δυαδικού αριθμού με N bits ορίζεται ως το συμπλήρωμα ως προς 2N. Αυτό σημαίνει ότι το συμπλήρωμα είναι η αφαίρεση του αριθμού από τον αριθμό 2N που σημαίνει αφαίρεση από τον αριθμό που έχει N μηδενικά. Αυτό είναι ισότιμο με το να πάρουμε το συμπλήρωμα ως προς 1 και να προσθέσουμε 1. Το συμπλήρωμα ως προς 2 συμπεριφέρεται ως αρνητικός αριθμός και με αυτήν την αναπαράσταση μπορούν να συνυπάρχουν θετικοί και αρνητικοί αριθμοί χωρίς να χρειάζεται να έχουμε κάποιο έξτρα συμβολισμό για το πρόσημο.

Το πιο σημαντικό bit του αριθμού (MSB) όταν είναι 1 δηλώνει ότι είναι αρνητικός αριθμός. Για παράδειγμα αν θέλουμε να δούμε την τιμή του αρνητικού αριθμού ${\displaystyle (10000010)_{2}}$ την βρίσκουμε:

${\displaystyle (10010010)_{2}=-2^{7}+2^{4}+2^{1}=-128+16+2=(-110)_{10}}$

Για παράδειγμα ο αριθμός ${\displaystyle (-1)_{10}}$ ο οποίος αναπαριστάται ως ${\displaystyle (11111111)_{2}}$ με βάση το συμπλήρωμα ως προς 2 υπολογίζεται ως:

${\displaystyle (11111111)_{2}=-2^{7}+2^{6}+2^{5}+2^{4}+2^{3}+2^{2}+2^{1}+2^{0}=-128+64+32+16+8+4+2+1=(-1)_{10}}$

Συμπλήρωμα ως προς την βάση

Ένας αριθμός ${\displaystyle N}$ με βάση ${\displaystyle r}$ και ${\displaystyle n}$ ψηφία έχει συμπλήρωμα ως προς ${\displaystyle r^{n}-N}$ για ${\displaystyle N\neq 0}$ και ${\displaystyle 0}$ για ${\displaystyle N=0}$. Αν δούμε τον ορισμό συμπληρώματος ως προς βάση μείον 1 δηλαδή ${\displaystyle r-1}$ θα δούμε ότι το συμπλήρωμα ως προς βάση ${\displaystyle r}$ προκύπτει με πρόσθεση 1 στο συμπλήρωμα ${\displaystyle r-1}$: ${\displaystyle r^{n}-N=[(r^{n}-1)-N]+1=r^{n}-N}$. ^[2]

Δείτε επίσης

• Δυαδικό σύστημα.
• Συμπλήρωμα ως προς 1.

Παραπομπές

1. Mano, Morris (1992). Ψηφιακή Σχεδίαση. Αθήνα: Prentice Hall (έκδοση μετάφρασης: Παπασωτηρίου). σελίδες 15–17. ISBN 960-7182-01-4.
2. Mano, Morris (1992). Ψηφιακή Σχεδίαση. Αθήνα: Prentice Hall (έκδοση μετάφρασης: Παπασωτηρίου). σελίδες 14–15. ISBN 960-7182-01-4.