Εγγράψιμο πολύγωνο

Στην γεωμετρία, ένα κυρτό πολύγωνο ${\displaystyle {\rm {P}}_{1}{\rm {P}}_{2}\ldots {\rm {P}}_{n}}$ λέγεται εγγράψιμο σε κύκλο ή κυκλικό αν όλες του οι ${\displaystyle n}$ κορυφές ανήκουν στον ίδιο κύκλο. Ο κύκλος λέγεται περιγεγραμμένος κύκλος του πολυγώνου και το πολύγωνο λέγεται ότι είναι εγγεγραμμένο στον κύκλο αυτό.^[1]:133 Τα σημεία ${\displaystyle {\rm {P}}_{1}{\rm {P}}_{2}\ldots {\rm {P}}_{n}}$ λέμε ότι είναι ομοκύκλια.

Ένα τρίγωνο, ένα τετράπλευρο και ένα πολύγωνο εγγεγραμμένα σε κύκλο.

Ιδιότητες

• Ένα κυρτό πολύγωνο ${\displaystyle {\rm {P}}_{1}{\rm {P}}_{2}\ldots {\rm {P}}_{n}}$ είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν και μόνο αν οι μεσοκάθετοι των πλευρών ${\displaystyle {\rm {P}}_{1}{\rm {P}}_{2},{\rm {P}}_{2}{\rm {P}}_{3},\ldots {\rm {P}}_{n-1}{\rm {P}}_{n},{\rm {P}}_{n}{\rm {P}}_{1}}$, διέρχονται από το ίδιο σημείο. Το σημείο αυτό είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου του κύκλου.

Απόδειξη

(${\displaystyle \Rightarrow }$) Έστω ${\displaystyle {\rm {P}}_{1}{\rm {P}}_{2}\ldots {\rm {P}}_{n}}$ ένα κυρτό πολύγωνο εγγεραμμένο σε κύκλο με κέντρο ${\displaystyle {\rm {O}}}$ και ακτίνα ${\displaystyle \rho }$. Τότε, αφού τα ${\displaystyle {\rm {P}}_{1},{\rm {P}}_{2},\ldots ,{\rm {P}}_{n}}$ ανήκουν στον περιγεγραμμένο κύκλο, έχουμε ότι ${\displaystyle {\rm {OP_{1}}}={\rm {OP_{2}}}=\ldots ={\rm {OP}}_{n}=\rho }$. Επομένως, καταλήγουμε ότι το ${\displaystyle {\rm {O}}}$ ανήκει στις μεσοκαθέτους των ${\displaystyle {\rm {P}}_{1}{\rm {P}}_{2},{\rm {P}}_{2}{\rm {P}}_{3},\ldots {\rm {P}}_{n-1}{\rm {P}}_{n},{\rm {P}}_{n}{\rm {P}}_{1}}$. (${\displaystyle \Leftarrow }$) Έστω ${\displaystyle {\rm {P}}_{1}{\rm {P}}_{2}\ldots {\rm {P}}_{n}}$ ένα κυρτό τετράπλευρο, όπου οι μεσοκάθετοι των πλευρών του διέρχονται από το σημείο ${\displaystyle {\rm {O}}}$. Τότε, έχουμε ${\displaystyle {\rm {OP}}_{1}={\rm {OP}}_{2}=\ldots ={\rm {OP}}_{n}}$, και επομένως ο κύκλος με κέντρο ${\displaystyle {\rm {O}}}$ και ακτίνα ${\displaystyle {\rm {OP_{1}}}}$ διέρχεται από τα ${\displaystyle {\rm {P}}_{1},{\rm {P}}_{2},\ldots ,{\rm {P}}_{n}}$. ${\displaystyle \square }$

• (Ιαπωνικό θεώρημα) Σε ένα εγγράψιμο πολύγωνο ${\displaystyle {\rm {P}}_{1}{\rm {P}}_{2}\ldots {\rm {P}}_{n}}$, για κάθε τριγωνισμό του ${\displaystyle {\rm {A}}_{i}{\rm {B}}_{i}{\rm {\Gamma }}_{i}}$ (για ${\displaystyle i=1,\ldots ,n-2}$), ισχύει ότι οι ακτίνες των εγγεγγραμμένων κύκλων αυτών των τριγώνων έχουν σταθερό άθροισμα (δηλαδή αναξάρτητο του τριγωνισμού).

Ειδικές περιπτώσεις

• Κάθε τρίγωνο (${\displaystyle n=3}$) είναι εγγράψιμο σε κύκλο.
• Στα τετράπλευρα, ισχύουν οι εξής αναγκαίες και ικανές συνθήκες για να είναι εγγράψιμο σε κύκλο:
  • Ένα κυρτό τετράπλευρο ${\displaystyle {\rm {AB\Gamma \Delta }}}$ είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν και μόνο αν δύο απέναντι γωνίες του είναι παραπληρωματικές, δηλαδή ${\displaystyle {\hat {\rm {A}}}+{\hat {\rm {\Gamma }}}=180^{\circ }}$ ή .${\displaystyle {\hat {\rm {B}}}+{\hat {\rm {\Delta }}}=180^{\circ }}$
  • Ένα κυρτό τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν και μόνο αν μία γωνία του είναι ίση με την εξωτερική της απέναντί της.
  • Ένα κυρτό τετράπλευρο ${\displaystyle {\rm {AB\Gamma \Delta }}}$ είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν και μόνο αν μία από τις πλευρές φαίνεται από τις άλλες δύο κορυφές από ίσες γωνίες, π.χ. ${\displaystyle {\widehat {\rm {A\Gamma B}}}={\widehat {\rm {A\Delta B}}}}$.
• Όλα τα κανονικά πολύγωνα είναι εγγράψιμα σε κύκλο.

Δείτε επίσης

• Περιγεγραμμένος κύκλος τριγώνου
• Εγγράψιμο τετράπλευρο
• Περιγράψιμο πολύγωνο

Περαιτέρω ανάγνωση

Ξενόγλωσσα άρθρα

• P. Robbins, David (1995). «Areas of Polygons Inscribed in a Circle». The American Mathematical Monthly 102 (6): 523-530. doi:10.2307/2974766.
• Collings, S. N. (1967). «Cyclic Polygons and Their Euler Lines». The Mathematical Gazette 51 (376): 108-114. doi:10.2307/3614382. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1967-05_51_376/page/108.