Ομοιομορφισμός

Για ομοιομορφισμούς στη θεωρία των γραφικών, δείτε: Ομοιομορφισμός (γραφικά).

Για τοπολογική ισοδυναμία σε δυναμικά συστήματα, δείτε: Τοπολογική συζυγία.

Στον μαθηματικό κλάδο της τοπολογίας, ομοιομορφισμός ή τοπολογικός ισομορφισμός ή αμφισυνεχής συνάρτηση είναι μια συνεχής συνάρτηση μεταξύ τοπολογικών χώρων που έχει μια συνεχής αντίστροφη συνάρτηση. Οι ομοιομορφισμοί είναι ισομορφισμοί στην κατηγορία των τοπολογικών χώρων, δηλαδή, είναι οι αντιστοιχίσεις που διατηρούν όλες τις τοπολογικές ιδιότητες ενός δεδομένου χώρου. Δύο χώροι με ομοιομορφισμό μεταξύ τους ονομάζονται ομοιομορφικοί χώροι, καθώς και από τοπολογική άποψη είναι ίδιοι.^[1]

Η συνεχής παραμόρφωση μεταξύ μιας κούπας καφέ και μιας σπείρας ντόνατ δείχνει ότι είναι ομοιομορφικοί χώροι. Δεν χρειάζεται να υπάρχει συνεχής παραμόρφωση δύο χώρων για να είναι ομοιομορφικοί, αρκεί μια συνεχής απεικόνιση και αντιστροφή.

Σε γενικές γραμμές, ένας τοπολογικός χώρος είναι ένα γεωμετρικό αντικείμενο και ο ομοιομορφισμός είναι μια συνεχής παραμόρφωση του αντικειμένου που το μεταμορφώνει σε ένα νέο σχήμα. Έτσι, ένα τετράγωνο και ένας κύκλος είναι ομοιομορφικά μεταξύ τους, αλλά μια σφαίρα και ένας τόρος δεν είναι. Ένα συχνά επαναλαμβανόμενο αστείο των μαθηματικών είναι ότι οι τοπολογιστές δεν μπορούν να δουν τη διαφορά ανάμεσα σε μια κούπα καφέ και ένα ντόνατ,^[2] δεδομένου ότι ένα αρκετά εύκαμπτο ντόνατ θα μπορούσε να μετασχηματιστεί από τη μορφή μιας κούπας καφέ, δημιουργώντας ένα λακκάκι που σταδιακά αυξάνεται ενώ ταυτόχρονα σχηματίζει την τρύπα του ντόνατ με τη λαβή της κούπας.

Η τοπολογία μελετά αυτές τις ιδιοτήτες των αντικειμένων οι οποίες δεν αλλάζουν όταν εφαρμόζονται ομοιομορφισμοί.

Ορισμός

Μια συνάρτηση f : X → Y μεταξύ δύο τοπολογικών χώρων (X, T_X) και (Y, T_Y) ονομάζεται ομοιομορφισμός όταν έχει τι παρακάτω ιδιότητες:

• Η f είναι αμφιμονοσήμαντη (ένα-προς-ένα και επί).
• Η f είναι συνεχής.
• Η αντίστροφη συνάρτηση f ⁻¹ είναι συνεχής.

Μια συνάρτηση με αυτές τις τρεις ιδιότητες συχνά ονομάζεται και δις - συνεχής συνάρτηση. Αν υπάρχει μια τέτοια συνάρτηση, τότε λέμε ότι οι X και Y είναι ομοιομορφικοί χώροι. Ένας αυτο-ομοιομορφισμός είναι ένας ομοιομορφισμός του τοπολογικού χώρου με τον εαυτό του. Οι ομοιομορφισμοί σχηματίζουν μια σχέση ισοδυναμίας στην κλάση όλων των τοπολογικών χώρων. Οι προκύπτουσες κλάσεις ισοδυναμίας ονομάζονται κλάσεις ομοιομορφισμού.

Ιδιότητες

• Δύο ομοιομορφικοί χώροι μοιράζονται τις ίδιες τοπολογικές ιδιότητες. Για παράδειγμα:

α) εάν ένας από αυτούς είναι συμπαγής, τότε είναι και ο άλλος

β) εάν ένας από αυτούς έχει συνεκτικότητα, τότε έχει και ο άλλος

γ) εάν ένας από αυτούς είναι διαχωρισμένος, τότε είναι και ο άλλος

δ) η ομάδα ομοτοπίας και η ομάδα ομολογίας τους, θα συμπίπτουν

Ωστόσο, σημειώστε ότι δεν επεκτείνονται στις ιδιότητες που ορίζονται μέσω κάποιας μετρικής, καθώς υπάρχουν μετρικοί χώροι οι οποίοι είναι ομοιομορφικοί ακόμη και όταν ένας από αυτούς είναι πλήρης και ο άλλος δεν είναι.

• Ο ομοιομορφισμός είναι ταυτόχρονα ανοικτή και κλειστή χαρτογράφηση, δηλαδή, χαρτογραφεί ανοιχτά σύνολα σε ανοιχτά σύνολα και κλειστά σύνολα σε κλειστά σύνολα.
• Κάθε αυτο-ομοιομορφισμός στο S¹ μπορεί να επεκταθεί σε έναν αυτο-ομοιομορφισμό ολόκληρου του δίσκου D².

Παραπομπές

1. Gamelin, T. W.· Greene, R. E. (1999). Introduction to topology. Courier Corporation.
2. Hubbard, John H.· West, Beverly H. (1995). Differential Equations: A Dynamical Systems Approach. Part II: Higher-Dimensional Systems. Texts in Applied Mathematics. 18. Springer. σελ. 204. ISBN 978-0-387-94377-0.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Hazewinkel, Michiel, επιμ.. (2001), «Homeomorphism», Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=p/h047600
• «Homeomorphism». PlanetMath.org.