Όμοια τρίγωνα

Στην γεωμετρία, δύο τρίγωνα είναι όμοια αν οι αντίστοιχες γωνίες τους είναι ίσες και οι πλευρές τους ανάλογες.^{[1]:215-216[2]:264-267[3]:66[4]}

Δύο όμοια τρίγωνα ${\displaystyle {\rm {AB\Gamma }}}$ και ${\displaystyle {\rm {A'B'\Gamma '}}}$ με λόγο ομοιότητας 2:1.

Πιο συγκεκριμένα, δύο τρίγωνα ${\displaystyle {\rm {AB\Gamma }}}$ και ${\displaystyle {\rm {A'B'\Gamma '}}}$ είναι όμοια, αν ${\displaystyle {\rm {{\hat {A}}=\!{\hat {{\phantom {'}}A'}}}}}$, ${\displaystyle {\rm {{\hat {B}}=\!{\hat {{\phantom {'}}B'}}}}}$ και ${\displaystyle {\rm {{\hat {\Gamma }}=\!{\hat {{\phantom {'}}\Gamma '}}}}}$, και

${\displaystyle {\rm {{\frac {AB}{A'B'}}={\frac {B\Gamma }{B'\Gamma '}}={\frac {A\Gamma }{A'\Gamma '}}=\lambda }}}$,

όπου ${\displaystyle \lambda }$ καλείται ο λόγος ομοιότητάς τους. Όταν ${\displaystyle \lambda =1}$, λέμε ότι τα τρίγωνα είναι ίσα. Συνήθως τα όμοια τρίγωνα συμβολίζονται ως ${\displaystyle {\rm {AB\Gamma \sim {\rm {A'B'\Gamma '}}}}}$ ή ${\displaystyle {\rm {AB\Gamma \approx {\rm {A'B'\Gamma '}}}}}$.

Τα όμοια τρίγωνα χρησιμοποιούνται για την απόδειξη αρκετών μετρικών σχέσεων στην γεωμετρία. Για να αποδειχθεί ότι δύο τρίγωνα είναι όμοια, χρησιμοποιούνται τα λεγόμενα κριτήρια ομοιότητας τριγώνων.

Κριτήρια ομοιότητας τριγώνων

Στις παρακάτω αποδείξεις θα χρησιμοποιήσουμε την εξής βασική πρόταση, που είναι η 2^η Πρόταση στο 6^ο Βιβλίο των Στοιχείων του Ευκλείδη.^[5]

Πρόταση —  Έστω ένα τρίγωνο ${\displaystyle {\rm {AB\Gamma }}}$ με ${\displaystyle {\rm {\Delta }}}$ είναι σημείο της ${\displaystyle {\rm {AB}}}$ και ${\displaystyle {\rm {E}}}$ σημείο της ${\displaystyle {\rm {A\Gamma }}}$. Το τμήμα ${\displaystyle {\rm {\Delta E}}}$ είναι παράλληλο στην ${\displaystyle {\rm {B\Gamma }}}$ αν και μόνο αν ${\displaystyle {\rm {{\tfrac {A\Delta }{AB}}={\tfrac {AE}{A\Gamma }}={\tfrac {\Delta E}{B\Gamma }}}}}$.

1^o Κριτήριο ομοιότητας

1^o Κριτήριο ομοιότητας — Δύο τρίγωνα που έχουν τις γωνίες τους ίσες μία προς μία είναι όμοια.

Απόδειξη

Σχήμα απόδειξης. Έστω ${\displaystyle {\rm {AB\Gamma }}}$ και ${\displaystyle {\rm {A'B'\Gamma '}}}$ δύο τρίγωνα που έχουν τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες, δηλαδή ${\displaystyle {\rm {{\hat {A}}=\!{\hat {{\phantom {'}}A'}}}}}$, ${\displaystyle {\rm {{\hat {B}}=\!{\hat {{\phantom {'}}B'}}}}}$ και ${\displaystyle {\rm {{\hat {\Gamma }}=\!{\hat {{\phantom {'}}\Gamma '}}}}}$. Θεωρούμε το σημείο ${\displaystyle {\rm {B''}}}$ στον φορέα της ${\displaystyle {\rm {AB}}}$ ώστε ${\displaystyle {\rm {AB''=AB'}}}$. Από αυτό το σημείο θεωρούμε την παράλληλη προς την ${\displaystyle {\rm {B\Gamma }}}$ που τέμνει τον φορέα της ${\displaystyle {\rm {A\Gamma }}}$ στο ${\displaystyle {\rm {\Gamma ''}}}$. Από την παραπάνω πρόταση, έχουμε ότι ${\displaystyle {\rm {{\frac {AB''}{AB}}={\frac {A\Gamma ''}{A\Gamma }}={\frac {B''\Gamma ''}{B\Gamma }}}}}$. και επίσης ισχύει ότι ${\displaystyle {\widehat {\rm {AB''\Gamma }}}={\widehat {\rm {AB\Gamma }}}={\hat {\rm {B}}}}$ και ${\displaystyle {\widehat {\rm {A\Gamma ''B''}}}={\widehat {\rm {A\Gamma B}}}={\hat {\rm {\Gamma }}}}$. Άρα τα τρίγωνα ${\displaystyle {\rm {AB''\Gamma ''}}}$ και ${\displaystyle {\rm {A'B'\Gamma '}}}$ είναι ίσα, καθώς έχουν δύο γωνίες ίσες (την ${\displaystyle {\rm {{\hat {A}}=\!{\hat {{\phantom {'}}A'}}}}}$ και ${\displaystyle {\rm {\!{\hat {{\phantom {''}}B''}}=\!{\hat {{\phantom {'}}B'}}}}}$) και την περιεχόμενη πλευρά τους ίση (κριτήριο ισότητας ΓΠΓ). Καταλήγουμε ότι τα ${\displaystyle {\rm {AB\Gamma }}}$ και ${\displaystyle {\rm {A'B'\Gamma '}}}$ είναι όμοια.

2^o Κριτήριο ομοιότητας

2^o Κριτήριο ομοιότητας — Δύο τρίγωνα που έχουν δύο πλευρές ανάλογες μία προς μία και την περιεχόμενη γωνία τους ίση είναι όμοια.

Απόδειξη

Σχήμα απόδειξης. Έστω ${\displaystyle {\rm {AB\Gamma }}}$ και ${\displaystyle {\rm {A'B'\Gamma '}}}$ δύο τρίγωνα με ${\displaystyle {\rm {{\hat {A}}=\!{\hat {{\phantom {'}}A'}}}}}$ και ${\displaystyle {\rm {{\frac {AB}{A'B'}}={\frac {A\Gamma }{A'\Gamma '}}}}}$. Θεωρούμε το σημείο ${\displaystyle {\rm {B''}}}$ στην ${\displaystyle {\rm {AB}}}$ τέτοιο ώστε ${\displaystyle {\rm {AB''=A'B'}}}$ και την παράλληλη από το ${\displaystyle {\rm {B''}}}$ προς το ${\displaystyle {\rm {B\Gamma }}}$ που τέμνει την ${\displaystyle {\rm {A\Gamma }}}$ στο ${\displaystyle {\rm {\Gamma ''}}}$. Τότε, ${\displaystyle {\widehat {\rm {AB''\Gamma ''}}}={\hat {\rm {B}}}}$ και ${\displaystyle {\widehat {\rm {A\Gamma ''\Gamma }}}={\hat {\rm {\Gamma }}}}$. Άρα τα τρίγωνα ${\displaystyle {\rm {AB''\Gamma ''}}}$ και ${\displaystyle {\rm {AB\Gamma }}}$ είναι όμοια (από το 1ο κριτήριο ομοιότητας) και επομένως ${\displaystyle {\rm {{\frac {AB}{A'B'}}={\frac {A\Gamma }{A'\Gamma '}}}}}$. Συνδυάζοντας με την παραπάνω σχέση έχουμε ότι ${\displaystyle {\rm {A'\Gamma '=A\Gamma ''}}}$. Επομένως, από το κριτήριο ισότητας ΓΠΓ τα τρίγωνα ${\displaystyle {\rm {AB''\Gamma ''}}}$ και ${\displaystyle {\rm {A''B''\Gamma ''}}}$ είναι ίσα, και καταλήγουμε ότι τα ${\displaystyle {\rm {AB\Gamma }}}$ και ${\displaystyle {\rm {A'B'\Gamma '}}}$ είναι όμοια.

3^o Κριτήριο ομοιότητας

3^o Κριτήριο ομοιότητας — Δύο τρίγωνα που έχουν τις πλευρές τους ανάλογες μία προς μία είναι όμοια.

Απόδειξη

Σχήμα απόδειξης. Έστω ${\displaystyle {\rm {AB\Gamma }}}$ και ${\displaystyle {\rm {A'B'\Gamma '}}}$ δύο τρίγωνα με ${\displaystyle {\rm {{\frac {AB}{A'B'}}={\rm {{\frac {B\Gamma }{B'\Gamma '}}={\frac {\Gamma A}{\Gamma 'A'}}}}}}}$. Θεωρούμε το σημείο ${\displaystyle {\rm {B''}}}$ στην ${\displaystyle {\rm {AB}}}$ τέτοιο ώστε ${\displaystyle {\rm {AB''=A'B'}}}$ και την παράλληλη από το ${\displaystyle {\rm {B''}}}$ προς το ${\displaystyle {\rm {B\Gamma }}}$ που τέμνει την ${\displaystyle {\rm {A\Gamma }}}$ στο ${\displaystyle {\rm {\Gamma ''}}}$. Τότε, ${\displaystyle {\widehat {\rm {AB''\Gamma ''}}}={\hat {\rm {B}}}}$ και ${\displaystyle {\widehat {\rm {A\Gamma ''\Gamma }}}={\hat {\rm {\Gamma }}}}$. Άρα τα τρίγωνα ${\displaystyle {\rm {AB''\Gamma ''}}}$ και ${\displaystyle {\rm {AB\Gamma }}}$ είναι όμοια (από το 1ο κριτήριο ομοιότητας) και επομένως ${\displaystyle {\rm {{\frac {AB''}{AB}}={\frac {B''\Gamma ''}{B\Gamma }}={\frac {\Gamma A}{\Gamma 'A'}}}}}$. Συνδυάζοντας αυτή την σχέση με την υπόθεση έχουμε ότι ${\displaystyle {\rm {A''\Gamma ''=A'\Gamma '}}}$ και ${\displaystyle {\rm {B''\Gamma ''=B'\Gamma '}}}$. Επομένως, από το κριτήριο ισότητας ΓΓΓ τα τρίγωνα ${\displaystyle {\rm {AB''\Gamma ''}}}$ και ${\displaystyle {\rm {A''B''\Gamma ''}}}$ είναι ίσα, και καταλήγουμε ότι τα ${\displaystyle {\rm {AB\Gamma }}}$ και ${\displaystyle {\rm {A'B'\Gamma '}}}$ είναι όμοια.

Κριτήρια ομοιότητας για ειδικά τρίγωνα

Για ειδικές περιπτώσεις τριγώνων, ισχύουν και τα εξής κριτήρια:^{[1]: 215-216 [2]: 264 [3]: 66}

• Δύο ορθογώνια τρίγωνα είναι όμοια αν έχουν μία οξεία γωνία ίση.
• Όλα τα ισόπλευρα τρίγωνα είναι όμοια μεταξύ τους.
• Δύο ισοσκελή τρίγωνα με αντίστοιχες γωνίες ίσες είναι όμοια μεταξύ τους.
• Δύο ορθογώνια τρίγωνα με τις κάθετες πλευρές τους ανάλογες είναι όμοια.
• Δύο τρίγωνα που έχουν όλες τους τις πλευρές τους κάθετες ή παράλληλες, είναι όμοια.

Ιδιότητες

• Ο λόγος των περιμέτρων δύο όμοιων τριγώνων ισούται με τον λόγο ομοιότητάς τους.^{[2]: 267 [3]: 66}

Απόδειξη

Θα χρησιμοποιήσουμε την ιδιότητα των κλασμάτων ότι για κάθε ${\displaystyle a,b,c,d}$ με ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}={\tfrac {c}{d}}}$ ισχύει ότι ${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}={\frac {a+c}{b+d}}}$. Στα δύο όμοια τρίγωνα ${\displaystyle {\rm {AB\Gamma \approx A'B'\Gamma '}}}$ ισχύει ότι ${\displaystyle \lambda ={\rm {{\frac {AB}{A'B'}}={\frac {B\Gamma }{B'\Gamma '}}={\frac {A\Gamma }{A'\Gamma '}}={\frac {AB+B\Gamma +\Gamma A}{A'B'+B'\Gamma '+\Gamma 'A'}}={\frac {\Pi _{AB\Gamma }}{\Pi _{A'B'\Gamma '}}}}}}$, που είναι το ζητούμενο.

• Ο λόγος των εμβαδών ισούται με το τετράγωνο του λόγου ομοιότητας τους.^[2]: 267

Απόδειξη

Θα χρησιμοποιήσουμε τον εξής τύπο για το εμβαδόν του ${\displaystyle {\rm {AB\Gamma }}}$, ${\displaystyle {\rm {E_{AB\Gamma }={\frac {1}{2}}AB\cdot A\Gamma \cdot \sin {\hat {A}}}}}$. Αντίστοιχα, για το εμβαδόν του ${\displaystyle {\rm {A'B'\Gamma '}}}$, ${\displaystyle {\rm {E_{A'B'\Gamma '}={\frac {1}{2}}A'B'\cdot A'\Gamma '\cdot \sin \!{\hat {{\phantom {'}}A'}}}}}$. Διαιρώντας τους δύο τύπους και χρησιμοποιώντας ότι ${\displaystyle {\rm {{\hat {A}}=\!{\hat {{\phantom {'}}A'}}}}}$ και ${\displaystyle {\rm {{\tfrac {AB}{A'B'}}={\tfrac {B\Gamma }{B'\Gamma '}}={\tfrac {A\Gamma }{A'\Gamma '}}=\lambda }}}$, έχουμε ότι ${\displaystyle {\rm {{\frac {E_{AB\Gamma }}{E_{A'B'\Gamma '}}}={\frac {AB\cdot A\Gamma }{A'B'\cdot A'\Gamma '}}=\lambda \cdot \lambda =\lambda ^{2}}}}$.

• Έστω δύο όμοια τρίγωνα ${\displaystyle {\rm {AB\Gamma \approx A'B'\Gamma '}}}$ με λόγο ομοιότητας ${\displaystyle \lambda }$. Επίσης έστω ${\displaystyle {\rm {M}}}$ σημείο της ${\displaystyle {\rm {AB}}}$ και σημείο ${\displaystyle {\rm {M'}}}$ της ${\displaystyle {\rm {A'B'}}}$ τέτοια ώστε

${\displaystyle {\rm {{\frac {AM}{BM}}={\frac {A'M'}{B'M'}}}}}$.

Τότε, ισχύει ότι

${\displaystyle {\rm {{\frac {AM}{A'M'}}={\frac {BM}{B'M'}}={\frac {\Gamma M}{\Gamma 'M'}}=\lambda }}}$.

• Από την προηγούμενη ιδιότητα προκύπτει σε δύο όμοια τρίγωνα ${\displaystyle {\rm {AB\Gamma \approx A'B'\Gamma '}}}$ με λόγο ομοιότητας ${\displaystyle \lambda }$ οι διάμεσοι ${\displaystyle \mu _{\alpha },\mu _{\beta },\mu _{\gamma }}$, ικανοποιούν

${\displaystyle {\frac {\mu _{\alpha }}{\mu _{\alpha '}}}={\frac {\mu _{\beta }}{\mu _{\beta '}}}={\frac {\mu _{\gamma }}{\mu _{\gamma '}}}=\lambda }$,

τα ύψη ${\displaystyle \upsilon _{\alpha },\upsilon _{\beta },\upsilon _{\gamma }}$ ικανοποιούν

${\displaystyle {\frac {\upsilon _{\alpha }}{\upsilon _{\alpha '}}}={\frac {\upsilon _{\beta }}{\upsilon _{\beta '}}}={\frac {\upsilon _{\gamma }}{\upsilon _{\gamma '}}}=\lambda }$,

και οι διχοτόμοι ${\displaystyle \delta _{\alpha },\delta _{\beta },\delta _{\gamma }}$ ικανοποιούν

${\displaystyle {\frac {\delta _{\alpha }}{\delta _{\alpha '}}}={\frac {\delta _{\beta }}{\delta _{\beta '}}}={\frac {\delta _{\gamma }}{\delta _{\gamma '}}}=\lambda }$.

Η σχέση ομοιότητας τριγώνων ${\displaystyle \approx }$ είναι σχέση ισοδυναμίας:^[2]: 264

• Ένα τρίγωνο είναι όμοιο με τον εαυτό του, ${\displaystyle {\rm {AB\Gamma \approx AB\Gamma }}}$ (ανακλαστική ιδιότητα).
• Αν ${\displaystyle {\rm {AB\Gamma \approx A'B'\Gamma '}}}$ τότε και ${\displaystyle {\rm {A'B'\Gamma '\approx AB\Gamma }}}$ (συμμετρική ιδιότητα).
• Αν ${\displaystyle {\rm {AB\Gamma \approx A'B'\Gamma '}}}$ και ${\displaystyle {\rm {A'B'\Gamma '\approx A''B''\Gamma ''}}}$, τότε ${\displaystyle {\rm {AB\Gamma \approx A''B''\Gamma ''}}}$ (μεταβατική ιδιότητα).

Εφαρμογές

Τα όμοια τρίγωνα χρησιμοποιούνται για την απόδειξη αρκετών μετρικών σχέσεων στην γεωμετρία. Για παράδειγμα,

• στο Πυθαγόρειο θεώρημα,
• στο θεώρημα τέμνουσας και εφαπτόμενης, και στο θεώρημα τεμνουσών,
• στο Θεώρημα του Πτολεμαίου
• στο θεώρημα του Όιλερ
• στο θεώρημα πεταλούδας

Δείτε επίσης

• Ομοιότητα (γεωμετρία)
• Ίσα τρίγωνα