Θεώρημα τέμνουσας και εφαπτόμενης

Στην γεωμετρία, το θεώρημα τέμνουσας και εφαπτόμενης δίνει μία μετρική σχέση μεταξύ μίας εφαπτόμενης και μίας τέμνουσας ενός κύκλου που ξεκινάνε από το ίδιο σημείο.

Το θεώρημα τέμνουσας και εφαπτομένης λέει ότι ${\displaystyle {\rm {PA\cdot PB=P\Gamma ^{2}}}}$.

Πιο συγκεκριμένα, έστω ένας κύκλος με κέντρο ${\displaystyle {\rm {O}}}$ και ένα σημείο ${\displaystyle {\rm {P}}}$ εξωτερικό αυτού. Έστω μία τέμνουσα αυτού που ξεκινάει από το ${\displaystyle {\rm {P}}}$ και τέμνει τον κύκλο στα σημεία ${\displaystyle {\rm {A}}}$ και ${\displaystyle {\rm {B}}}$, και μία εφαπτόμενη με σημείο επαφής το ${\displaystyle {\rm {\Gamma }}}$. Τότε, ισχύει ότι^[1][2]:309

${\displaystyle {\rm {PA\cdot PB=P\Gamma ^{2}}}}$.

Το θεώρημα είναι ειδική περίπτωση της δύναμης σημείου ως προς κύκλου. Το θεώρημα είναι η πρόταση 36 στο Βιβλίο 3 των Στοιχείων του Ευκλείδη.^[3]

Απόδειξη

Τα τρίγωνα ${\displaystyle {\rm {PA\Gamma }}}$ και ${\displaystyle {\rm {P\Gamma B}}}$ είναι όμοια. Η απόδειξη προκύπτει από το γεγονός ότι τα τρίγωνα ${\displaystyle {\rm {PA\Gamma }}}$ και ${\displaystyle {\rm {P\Gamma B}}}$ είναι όμοια. Τα τρίγωνα αυτά είναι όμοια καθώς έχουν δύο γωνίες ίσες: ${\displaystyle {\widehat {\rm {A\Gamma P}}}={\widehat {\rm {PB\Gamma }}}}$, ως γωνία χορδής και εφαπτομένης, και η γωνία ${\displaystyle {\rm {\hat {P}}}}$ είναι κοινή. Επομένως, έχουμε ότι ${\displaystyle {\rm {{\frac {PA}{P\Gamma }}={\frac {P\Gamma }{PB}}}}}$. Πολλαπλασιάζοντας χιαστί καταλήγουμε στην ζητούμενη σχέση.${\displaystyle \quad \square }$

Δείτε επίσης

• Δύναμη σημείου ως προς κύκλο
• Θεώρημα τεμνουσών
• Θεώρημα τεμνόμενων χορδών

Παραπομπές

1. Αργυρόπουλος Ηλίας· Βλάμος Παναγιώτης· Κατσουλης Γεωργιος· Μαρκατης Στυλιανος· Σιδερης Πολυχρονης. «Κεφάλαιο 9: Μετρικές σχέσεις». Ευκλείδεια Γεωμετρία Τεύχος Β'. Αθήνα: Διόφαντος.
2. Παπανικολάου, Χρήστος Γ. (1971). Στοιχεία γεωμετρίας Μέρος α' επιπεδομετρία. Αθήνα.
3. Ευκλείδης (2024). Ροκοπάνος, Νίκος· Σακελλάρη, Στέλλα· Τσολομύτης, Αντώνης, επιμ. Στοιχεία (PDF). Σάμος. σελ. 108. ISBN 9786180052046.