Ίσα τρίγωνα

Στην γεωμετρία, δύο τρίγωνα λέγονται ίσα αν οι πλευρές τους έχουν ίσα μήκη και οι αντίστοιχες γωνίες τους ίσο μέτρο.^{[1]:33[2]:17-18[3]:56-58}

Πολλά θεωρήματα στην γεωμετρία αποδεικνύονται εντοπίζοντας ίσα τρίγωνα σε σχήματα. Για να αποδειχθούν ότι δύο τρίγωνα είναι ίσα, χρησιμοποιούνται τα λεγόμενα κριτήρια ισότητας τριγώνων, θεωρήματα που μας δίνουν συνθήκες για πότε δύο τρίγωνα είναι ίσα. Αυτά συντομεύουν τις αποδείξεις και δεν χρειάζεται να αποδείξουμε κάθε φορά ότι όλες οι πλευρές και όλες οι γωνίες τους είναι ίσες.

Κριτήρια ισότητας τριγώνων

Κριτήριο πλευράς-γωνίας-πλευράς.

Κριτήριο γωνίας-πλευράς-γωνίας.

Κριτήριο πλευράς-πλευράς-πλευράς.

Ισχύει ότι όλα τα ζευγάρια ίσων τριγώνων είναι όμοια, καθώς έχουν τις γωνίες τους ίσες, αλλά δεν είναι όλα τα ζευγάρια όμοιων τριγώνων ίσα.

Ορισμός

Τα τρίγωνα ${\displaystyle {\rm {AB\Gamma }}}$ και ${\displaystyle {\rm {\Delta EZ}}}$ είναι ίσα με αντιστοιχία κορυφών ${\displaystyle {\rm {(A,\Delta )}}}$, ${\displaystyle {\rm {(B,E)}}}$ και ${\displaystyle {\rm {(\Gamma ,Z)}}}$,^[1]: 33 αν τα μήκη των πλευρών τους είναι ίσα

${\displaystyle {\rm {AB=\Delta E}}}$, ${\displaystyle {\rm {B\Gamma =EZ}}}$ και ${\displaystyle {\rm {\Gamma A=Z\Delta }}}$,

και τα μέτρα των γωνιών τους είναι ίσα

${\displaystyle {\hat {\rm {A}}}={\hat {\rm {\Delta }}}}$, ${\displaystyle {\hat {\rm {B}}}={\hat {\rm {E}}}}$ και ${\displaystyle {\hat {\rm {\Gamma }}}={\hat {\rm {Z}}}}$.

Σημείωση 1: Συνήθως η αντιστοιχία των κορυφών παραλείπεται και όταν λέμε τα ${\displaystyle {\rm {AB\Gamma }}}$ και ${\displaystyle {\rm {\Delta EZ}}}$ είναι ίσα, εννοούμε με την σειρά με την οποία αναγράφονται οι κορυφές.

Σημείωση 2: Όπως αποδεικνύεται και στο κριτήριο πλευράς-πλευράς-πλευράς παρακάτω, αρκεί μόνο η ισότητα των πλευρών στον ορισμό.

Κριτήρια ισότητας τριγώνων

Τα παρακάτω θεωρήματα χρησιμοποιούνται για να αποδείξουν ότι δύο τρίγωνα είναι ίσα και συχνά αποκαλούνται ως τα κριτήρια ισότητας τριγώνων.^{[2]: 17-18 [1]: 33 [3]: 56-58} Τα δύο πρώτα κριτήρια εμφανίζονται ως Προτάσεις 4 και 8 στο 1ο Βιβλίο στα Στοιχεία του Ευκλείδη.^[4]:23,25

Κριτήριο πλευράς-γωνίας-πλευράς (ΠΓΠ)

Κριτήριο (ΠΓΠ) — Δύο τρίγωνα είναι ίσα αν έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μία και την περιεχόμενή τους γωνία ίση με την αντίστοιχή της.

Απόδειξη

Σχήμα απόδειξης κριτηρίου ΠΓΠ. Έστω ${\displaystyle {\rm {AB\Gamma }}}$ και ${\displaystyle {\rm {\Delta EZ}}}$ τρίγωνα στα οποία ισχύει ${\displaystyle {\rm {AB=\Delta E}}}$, ${\displaystyle {\rm {A\Gamma =\Delta Z}}}$ και ${\displaystyle {\rm {{\hat {A}}={\hat {\Delta }}}}}$. Μετατοπίζουμε το τρίγωνο ${\displaystyle {\rm {AB\Gamma }}}$ έτσι ώστε να ταυτιστούν οι ημιευθείες κατά μήκος των ${\displaystyle {\rm {AB}}}$ και ${\displaystyle {\rm {\Delta E}}}$. Από την ισότητα των γωνιών θα έχουμε και ταύτιση των ημιευθειών κατά μήκος των ${\displaystyle {\rm {A\Gamma }}}$ και ${\displaystyle {\rm {\Delta Z}}}$. Από τις ισότητες των πλευρών τότε θα έχουμε ταύτιση του ${\displaystyle {\rm {B}}}$ με το ${\displaystyle {\rm {E}}}$ και του ${\displaystyle {\rm {\Gamma }}}$ με το ${\displaystyle {\rm {Z}}}$. Συνεπώς τα τρίγωνα είναι ίσα.${\displaystyle \quad \square }$

Κριτήριο γωνίας-πλευράς-γωνίας (ΓΠΓ)

Κριτήριο (ΓΠΓ) — Δύο τρίγωνα είναι ίσα αν έχουν μία πλευρά και δύο προσκείμενες στην πλευρά γωνίες ίσες με τις αντίστοιχές τους.

Απόδειξη

Σχήμα απόδειξης για το κριτήριο ΓΠΓ. Θεωρούμε δύο τρίγωνα ${\displaystyle {\rm {AB\Gamma }}}$ και ${\displaystyle {\rm {\Delta EZ}}}$ με ${\displaystyle {\rm {{\hat {B}}={\hat {E}}}}}$, ${\displaystyle {\rm {{\hat {\Gamma }}={\hat {Z}}}}}$ και ${\displaystyle {\rm {B\Gamma =EZ}}}$. Αρκεί να δείξουμε ότι ${\displaystyle {\rm {AB=\Delta E}}}$, οπότε σύμφωνα με το κριτήριο πλευράς-γωνίας-πλευράς θα είναι ίσα. Θα το δείξουμε με απαγωγή σε άτοπο: Υποθέτουμε ότι ${\displaystyle {\rm {AB\neq \Delta E}}}$ και διακρίνουμε δύο περιπτώσεις: Περίπτωση 1η [${\displaystyle {\rm {AB>\Delta E}}}$]: Θα υπάρχει στην ${\displaystyle {\rm {AB}}}$ σημείο ${\displaystyle {\rm {H}}}$ τέτοιο ώστε ${\displaystyle {\rm {HB=\Delta E}}}$. Θεωρούμε την ${\displaystyle {\rm {H\Gamma }}}$. Επειδή το ${\displaystyle {\rm {H}}}$ είναι εσωτερικό σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ${\displaystyle {\rm {AB}}}$, ισχύει ότι ${\displaystyle {\widehat {\rm {H\Gamma B}}}<{\hat {\Gamma }}}$. Τα τρίγωνα ${\displaystyle {\rm {HB\Gamma }}}$ και ${\displaystyle {\rm {\Delta EZ}}}$ είναι ίσα σύμφωνα με το κριτήριο πλευράς-γωνίας-πλευράς, συνεπώς και ${\displaystyle {\widehat {\rm {H\Gamma B}}}={\hat {Z}}}$, που είναι άτοπο επειδή ${\displaystyle {\rm {{\hat {Z}}={\hat {\Gamma }}>{\widehat {H\Gamma B}}}}}$. Περίπτωση 2η [${\displaystyle {\rm {AB<\Delta E}}}$]: Παρομοίως οδηγούμαστε σε άτοπο. Επομένως καταλήγουμε ότι ${\displaystyle {\rm {AB=\Delta E}}}$. ${\displaystyle \square }$

Σημείωση: Οι δύο γωνίες δεν χρειάζεται να είναι και οι δύο προσκείμενες στην πλευρά, καθώς αν π.χ. ${\displaystyle {\rm {{\hat {A}}={\hat {\Delta }}}}}$ και ${\displaystyle {\rm {{\hat {B}}={\hat {E}}}}}$ τότε ισχύει επίσης ότι ${\displaystyle {\rm {{\hat {\Gamma }}=180^{\circ }-{\hat {A}}-{\hat {B}}=180^{\circ }-{\hat {\Delta }}-{\hat {E}}={\hat {Z}}}}}$. Άρα από το κριτήριο γωνίας-πλευράς-γωνίας, προκύπτει ότι τα τρίγωνα είναι ίσα.

Κριτήριο πλευράς-πλευράς-πλευράς (ΠΠΠ)

Κριτήριο (ΠΠΠ) — Δύο τρίγωνα είναι ίσα αν έχουν τις τρεις πλευρές τους ίσες μία προς μία.

Απόδειξη

Σχήμα απόδειξης για το κριτήριο ΠΠΠ. Έστω τρίγωνα ${\displaystyle {\rm {AB\Gamma }}}$ και ${\displaystyle {\rm {\Delta EZ}}}$ με ${\displaystyle {\rm {AB=\Delta E}}}$, ${\displaystyle {\rm {B\Gamma =EZ}}}$ και ${\displaystyle {\rm {A\Gamma =\Delta Z}}}$. Αρκεί να δείξουμε ότι ${\displaystyle {\rm {{\hat {A}}={\hat {\Delta }}}}}$, οπότε με το κριτήριο πλευράς-γωνίας-πλευράς τα δύο τρίγωνα θα είναι ίσα. Φέρνουμε την ημιευθεία ${\displaystyle {\rm {Ex}}}$ έτσι ώστε ${\displaystyle {\widehat {\rm {ZEx}}}={\hat {B}}}$. Στην ${\displaystyle {\rm {Ex}}}$ θεωρούμε το σημείο ${\displaystyle {\rm {H}}}$ για το οποίο ${\displaystyle {\rm {HE=AB}}}$. Θεωρούμε επίσης τα ευθύγραμμα τμήματα ${\displaystyle {\rm {ZH}}}$ και ${\displaystyle {\rm {\Delta H}}}$. Τα τρίγωνα ${\displaystyle {\rm {AB\Gamma }}}$ και ${\displaystyle {\rm {HEZ}}}$ είναι ίσα από το κριτήριο πλευράς-γωνίας-πλευράς, έτσι θα έχουν ${\displaystyle {\rm {HZ=A\Gamma }}}$ και ${\displaystyle {\rm {{\hat {H}}={\hat {A}}}}}$. Τα τρίγωνα ${\displaystyle {\rm {E\Delta H}}}$ και ${\displaystyle {\rm {Z\Delta H}}}$ είναι ισοσκελή, συνεπώς έχουμε ${\displaystyle {\widehat {\rm {E\Delta H}}}={\widehat {\rm {EH\Delta }}}}$ και ${\displaystyle {\widehat {\rm {H\Delta Z}}}={\widehat {\rm {\Delta HZ}}}}$. Συνεπώς έχουμε ${\displaystyle {\rm {{\hat {A}}={\hat {H}}={\widehat {\rm {EHZ}}}+{\widehat {\Delta HZ}}={\widehat {E\Delta H}}+{\widehat {\rm {H\Delta Z}}}={\hat {\rm {\Delta }}}}}}$. ${\displaystyle \square }$

Σχετικά με το κριτήριο πλευράς-πλευράς-γωνίας

Τα τρίγωνα ${\displaystyle {\rm {AB\Gamma }}}$ και ${\displaystyle {\rm {AB\Delta }}}$ έχουν δύο ίσες πλευρές και μία γωνία κοινή (την ${\displaystyle {\rm {\hat {B}}}}$), αλλά δεν είναι ίσα.

Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ίσες και μία γωνία ίση που δεν είναι η περιεχόμενη τους γωνία, τότε τα τρίγωνα δεν είναι κατά ανάγκη ίσα.

Για παράδειγμα, θεωρούμε ένα αμβλυγώνιο τρίγωνο ${\displaystyle {\rm {AB\Gamma }}}$ με αμβλεία γωνία την ${\displaystyle {\hat {\rm {\Gamma }}}}$, και το σημείο ${\displaystyle {\rm {\Delta }}}$ στην προέκταση της ${\displaystyle {\rm {B\Gamma }}}$ ώστε το ${\displaystyle {\rm {A\Gamma =A\Delta }}}$. Τότε τα τρίγωνα ${\displaystyle {\rm {AB\Gamma }}}$ και ${\displaystyle {\rm {AB\Delta }}}$ έχουν δύο ίσες πλευρές (την ${\displaystyle {\rm {AB}}}$ κοινή και ${\displaystyle {\rm {A\Gamma =A\Delta }}}$) και μία μη-περιεχόμενη γωνία κοινή (την ${\displaystyle {\hat {\rm {B}}}}$), αλλά ισχύει ότι ${\displaystyle {\rm {B\Gamma <B\Delta }}}$, άρα τα τρίγωνα δεν είναι ίσα.

Πιο συγκεκριμένα ισχύει ότι:^[2]: 17

Θεώρημα —  Έστω δύο τρίγωνα ${\displaystyle {\rm {AB\Gamma }}}$ και ${\displaystyle {\rm {\Delta EZ}}}$ με ${\displaystyle {\rm {AB=\Delta E}}}$, ${\displaystyle {\rm {A\Gamma =\Delta Z}}}$ και ${\displaystyle {\hat {\rm {B}}}={\hat {\rm {E}}}}$. Τότε, ισχύει ότι ${\displaystyle {\hat {\rm {\Gamma }}}={\hat {\rm {Z}}}}$ ή ${\displaystyle {\hat {\rm {\Gamma }}}=180^{\circ }-{\hat {\rm {Z}}}}$.

Απόδειξη

Από τον νόμο των ημιτόνων στο τρίγωνο ${\displaystyle {\rm {AB\Gamma }}}$, έχουμε ότι ${\displaystyle {\frac {\sin {\hat {\rm {\Gamma }}}}{\rm {AB}}}={\frac {\sin {\hat {\rm {B}}}}{\rm {A\Gamma }}}}$, (1) και από το τρίγωνο ${\displaystyle {\rm {\Delta EZ}}}$, έχουμε ${\displaystyle {\frac {\sin {\hat {\rm {Z}}}}{\rm {\Delta E}}}={\frac {\sin {\hat {\rm {E}}}}{\rm {\Delta Z}}}}$. Από την υπόθεση έχουμε ότι ${\displaystyle {\rm {AB=\Delta E}}}$, ${\displaystyle {\rm {A\Gamma =\Delta Z}}}$ και ${\displaystyle {\hat {\rm {B}}}={\hat {\rm {E}}}}$, άρα η τελευταία σχέση γίνεται ${\displaystyle {\frac {\sin {\hat {\rm {Z}}}}{\rm {AB}}}={\frac {\sin {\hat {\rm {B}}}}{\rm {A\Gamma }}}}$. (2) Συνδυάζοντας την (1) και την (2) λαμβάνουμε ότι ${\displaystyle \sin {\hat {\rm {\Gamma }}}=\sin {\hat {\rm {Z}}}}$, άρα καταλήγουμε ότι ${\displaystyle {\hat {\rm {\Gamma }}}={\hat {\rm {Z}}}}$ ή ${\displaystyle {\hat {\rm {\Gamma }}}=180^{\circ }-{\hat {\rm {Z}}}}$, που είναι το ζητούμενο.

Σημείωση 1: Από το θεώρημα έπεται ότι αν επιπλέον γνωρίζουμε ότι η ίση γωνία είναι ορθή ή αμβλεία, τότε τα τρίγωνα είναι ίσα.

Σημείωση 2: Το θεώρημα αναφέρεται και ως τέταρτο θεώρημα ισότητας τριγώνων.^[5]:68

Κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων

Για την ειδική περίπτωση των ορθογωνίων τριγώνων, τα κριτήρια απλοποιούνται στα εξής δύο:^[3]: 56-58

• πλευράς-οξείας γωνίας: αν έχουν μία αντίστοιχη πλευρά ίση και μία αντίστοιχη οξεία γωνία ίση
• πλευράς-πλευράς: αν έχουν δύο αντίστοιχες πλευρές ίσες μία προς μία

Δείτε επίσης

• Όμοια τρίγωνα
• Ίσα πολύγωνα

Περαιτέρω ανάγνωση

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Διαδραστική εφαρμογή για το κριτήριο πλευράς-γωνίας-πλευράς.
• Διαδραστική εφαρμογή για το κριτήριο γωνίας-πλευράς-γωνίας.
• Διαδραστική εφαρμογή για το κριτήριο πλευράς-πλευράς-πλευράς.
• Διαδραστική εφαρμογή για τρίγωνα με δύο πλευρές ίσες και μία γωνία ίση.

Ελληνικά άρθρα

• Π. Χριστοφόρου (1984). «Για τα Ίσα τρίγωνα». Ευκλείδης Α΄ (1): 15-19. http://niobe.hms.gr/apothema/?s=sa&i=1566.
• Π. Κυράνας (1993). «Κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων». Ευκλείδης Α΄ (12): 28-29. http://niobe.hms.gr/apothema/?s=sa&i=2296.
• Γ. Ω.; N. Π.; Μ. Κ.; Χ.Κ. (1982). «Για την Β'Τάξη: Ίσα τρίγωνα». Ευκλείδης Α΄ (11): 13-18. http://niobe.hms.gr/apothema/?s=sa&i=1433.
• Γιαννίκου Άννη; Μέμου Βασιλική; Κισκύρας Χρήστος (1980). «Για τη Β τάξη: Για την ισότητα των τριγώνων». Ευκλείδης Α΄ (1): 15-21. http://niobe.hms.gr/apothema/?s=sa&i=1341.