Νόμος των ημιτόνων

Στην γεωμετρία, ο νόμος των ημιτόνων είναι μία σχέση που ισχύει σε οποιοδήποτε τρίγωνο και η οποία συνδέει τα μήκη των πλευρών του τριγώνου με τα ημίτονα των γωνιών του. Πιο συγκεκριμένα, σε κάθε τρίγωνο ${\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } }$, ισχύει ότι^{[1]:244-245[2]:126[3]:62[4]:57}

${\displaystyle {\frac {\alpha }{\sin {\hat {\mathrm {A} }}}}={\frac {\beta }{\sin {\hat {\mathrm {B} }}}}={\frac {\gamma }{\sin {\hat {\rm {\Gamma }}}}}=2R}$,

Τρίγωνο στο οποίο αναγράφονται τα μήκη των πλευρών του ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle \beta }$, ${\displaystyle \gamma }$, οι κουρφές του ${\displaystyle \mathrm {A} }$, ${\displaystyle \mathrm {B} }$, ${\displaystyle \Gamma }$ και ο περιγεγραμμένος κύκλος του ακτίνας ${\displaystyle R}$.

όπου ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$, ${\displaystyle \gamma }$ είναι τα μήκη των πλευρών του, ${\displaystyle {\hat {\mathrm {A} }}}$, ${\displaystyle {\hat {\mathrm {B} }}}$, ${\displaystyle {\hat {\rm {\Gamma }}}}$ οι γωνίες του, και ${\displaystyle R}$ η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου.

Δηλαδή σε ένα τυχόν τρίγωνο ο λόγος της πλευράς προς το ημίτονο της γωνίας που βλέπει προς την πλευρά είναι σταθερός και ίσος με την διάμετρο του περιγεγραμμένου κύκλου, δηλαδή με ${\displaystyle 2R}$.

Απόδειξη

Για την ισότητα λόγων

Ύψος ${\displaystyle \mathrm {AH_{A}} }$ του τριγώνου ${\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } }$ που αντιστοιχεί στην κορυφή ${\displaystyle \mathrm {A} }$. Θα ξεκινήσουμε αποδεικνύοντας ότι ${\displaystyle {\frac {\alpha }{\sin {\hat {\rm {A}}}}}={\frac {\beta }{\sin {\hat {\rm {B}}}}}={\frac {\gamma }{\sin {\hat {\rm {\Gamma }}}}},}$ χρησιμοποιώντας διαφορετικές εκφράσεις για τα ύψη του ${\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } }$. Έστω ${\displaystyle {\rm {AH_{A}}}}$ το ύψος που αντιστοιχεί στην κορυφή ${\displaystyle \mathrm {A} }$. Τότε στο ορθογώνιο τρίγωνο ${\displaystyle \mathrm {AH_{A}B} }$, από τον ορισμό του ημιτόνου ${\displaystyle \sin \mathrm {B} }$, έχουμε ότι ${\displaystyle \sin {\hat {\mathrm {B} }}={\frac {\mathrm {AH_{A}} }{\gamma }}\Rightarrow \mathrm {AH_{A}} =\gamma \sin {\hat {\mathrm {B} }}}$. (1) Αντίστοιχα, στο ${\displaystyle \mathrm {AH_{A}\Gamma } }$, έχουμε ότι ${\displaystyle \sin {\hat {\Gamma }}={\frac {\mathrm {AH_{A}} }{\beta }}\Rightarrow \mathrm {AH_{A}} =\beta \sin {\hat {\Gamma }}}$. (2) Συνδυάζοντας τις (1) και (2), έχουμε ότι ${\displaystyle \gamma \sin {\hat {\mathrm {B} }}=\beta \sin {\hat {\Gamma }}\Rightarrow {\frac {\beta }{\sin {\hat {\rm {B}}}}}={\frac {\gamma }{\sin {\hat {\Gamma }}}}}$. Αντίστοιχα για το ύψος ${\displaystyle \mathrm {BB'} }$, λαμβάνουμε ότι ${\displaystyle a\sin {\hat {\Gamma }}=\gamma \sin {\hat {\mathrm {A} }}\Rightarrow {\frac {\alpha }{\sin {\hat {\rm {A}}}}}={\frac {\gamma }{\sin {\hat {\Gamma }}}}}$, και έτσι έπεται το ζητούμενο. ${\displaystyle \square }$

Για την ισότητα με την διάμετρο

Το τρίγωνο ${\displaystyle \mathrm {B\Gamma \Delta } }$ όπου ${\displaystyle \mathrm {B\Delta } =2R}$. Αρκεί να δείξουμε ότι ${\displaystyle {\tfrac {\alpha }{\sin {\hat {\mathrm {A} }}}}=2R}$. Θεωρούμε την κάθετη από το ${\displaystyle \Gamma }$ στην ${\displaystyle \mathrm {B\Gamma } }$ και ${\displaystyle \Delta }$ το σημείο που τέμνεται με τον περιεγραμμένο κύκλο του ${\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } }$. Χρησιμοποιώντας την ισότητα των λόγων του νόμου των ημιτόνων (που αποδείξαμε παραπάνω) στο τρίγωνο ${\displaystyle \mathrm {A\Delta B} }$, έχουμε ότι ${\displaystyle {\frac {\mathrm {B\Gamma } }{\sin {\widehat {\rm {B\Delta \Gamma }}}}}={\frac {\mathrm {B\Delta } }{\sin {\widehat {\rm {B\Gamma \Delta }}}}}}$. Αφού η ${\displaystyle {\widehat {\rm {B\Delta \Gamma }}}}$ βαίνει στο ίδιο τόξο με την ${\displaystyle {\widehat {\rm {BA\Gamma }}}}$ έχουμε ότι ${\displaystyle {\widehat {\rm {B\Delta \Gamma }}}={\widehat {\rm {BA\Gamma }}}=\mathrm {A} }$. Επίσης αφού ${\displaystyle {\widehat {\rm {\Delta \Gamma B}}}=90^{\circ }}$, ισχύει ότι ${\displaystyle \mathrm {B\Delta } =2R}$. Συνεπώς, ${\displaystyle {\frac {\alpha }{\sin {\hat {\mathrm {A} }}}}={\frac {\mathrm {B\Gamma } }{\sin {\widehat {\rm {B\Delta \Gamma }}}}}={\frac {\mathrm {B\Delta } }{\sin {\widehat {\rm {B\Gamma \Delta }}}}}={\frac {2R}{\sin 90^{\circ }}}=2R.}$ ${\displaystyle \square }$

Περαιτέρω ανάγνωση

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Νόμος ημιτόνων και συνημιτόνων στο Cut the Knot.
• Διαδραστική εφαρμογή του νόμου των ημιτόνων στο Φωτόδεντρο.
• Διαδραστική εφαρμογή του νόμου των ημιτόνων στο Geogebra

Ελληνικά άρθρα

• Θ. Ξένος (1988). «Αποδείξεις γεωμετρικών προτάσεων με τη βοήθεια των νόμων ημιτόνων και συνημιτόνων». Ευκλείδης Β΄ (3): 32-34. http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=3215.

Ξενόγλωσσα άρθρα

• Viher, Radimir; Viher, Dragutin; Koncul, Helena (Μαρτίου 2021). «Applications of the sine and cosine rules for a quadrilateral». The Mathematical Gazette 105 (562): 70–77. doi:10.1017/mag.2021.9.
• Kershner, R. B. (Μαΐου 1971). «The Law of Sines and Law of Cosines for Polygons». Mathematics Magazine 44 (3): 150–153. doi:10.1080/0025570X.1971.11976127. https://archive.org/details/sim_mathematics-magazine_1971-05_44_3/page/150.
• Grinberg, Eric L.; Orhon, Mehmet (7 Φεβρουαρίου 2021). «Morley Trisectors and the Law of Sines with Reflections». The American Mathematical Monthly 128 (2): 163–167. doi:10.1080/00029890.2021.1845559.
• Mahoney, John F. (Φεβρουαρίου 2005). «Benjamin Banneker and the Law of Sines». The Mathematics Teacher 98 (6): 390–393. doi:10.5951/MT.98.6.0390. https://archive.org/details/sim_mathematics-teacher_2005-02_98_6/page/390.
• Mitchell, Douglas W. (Μαρτίου 2009). «93.10 A Heron-type area formula in terms of sines». The Mathematical Gazette 93 (526): 108–109. doi:10.1017/S002555720018430X. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_2009-03_93_526/page/108.

Δείτε επίσης

• Νόμος των συνημιτόνων
• Νόμος των εφαπτομένων
• Τριγωνομετρία
• Περιγεγραμμένος κύκλος τριγώνου

Παραπομπές

1. Αργυράκης, Δ.· Βουργάνας, Π.· Μεντής, Κ.· Τσικοπούλου, Σ.· Χρυσοβέργης, Μ. Γ' Γυμνασίου Μαθηματικά. Αθήνα: Ινστιτούτο Τεχνολογίας Υπολογιστών και Εκδόσεων «Διόφαντος». ISBN 978-960-06-2766-4.
2. Τόγκας, Πέτρος Γ. Ασκήσεις και προβλήματα τριγωνομετρίας. Αθήνα: Εκδοτικός οίκος Πέτρου Γ. Τόγκα.
3. Παπατριανταφύλλου, Ε. (1974). Μαθηματικά ΣΤ' Γυμνασίου Θετικής κατευθύνσεως: Τριγωνομετρία. Αθήνα: Οργανισμός εκδόσεως διδακτικών βιβλίων.
4. Τόγκας, Πέτρος Γ. (1957). Ευθύγραμμος τριγωνομετρία. Αθήνα: Εκδοτικός Οίκος Πέτρου Γ. Τόγκα.