Νόμος των ημιτόνων

Στην γεωμετρία, ο νόμος των ημιτόνων είναι μία σχέση που ισχύει σε οποιοδήποτε τρίγωνο και η οποία συνδέει τα μήκη των πλευρών του τριγώνου με τα ημίτονα των γωνιών του. Πιο συγκεκριμένα, σε κάθε τρίγωνο ${\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } }$, ισχύει ότι^{[1]:244-245[2]:126[3]:62[4]:57}

${\displaystyle {\frac {\alpha }{\sin {\rm {A}}}}={\frac {\beta }{\sin {\rm {B}}}}={\frac {\gamma }{\sin {\rm {\Gamma }}}}=2R}$,

Τρίγωνο στο οποίο αναγράφονται τα μήκη των πλευρών του ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle \beta }$, ${\displaystyle \gamma }$, οι κουρφές του ${\displaystyle \mathrm {A} }$, ${\displaystyle \mathrm {B} }$, ${\displaystyle \Gamma }$ και ο περιγεγραμμένος κύκλος του ακτίνας ${\displaystyle R}$.

όπου ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$, ${\displaystyle \gamma }$ είναι τα μήκη των πλευρών του, ${\displaystyle {\hat {\mathrm {A} }}}$, ${\displaystyle {\hat {\mathrm {B} }}}$, ${\displaystyle {\hat {\rm {\Gamma }}}}$ οι γωνίες του, και ${\displaystyle R}$ η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου.

Δηλαδή σε ένα τυχόν τρίγωνο ο λόγος της πλευράς προς το ημίτονο της γωνίας που βλέπει προς την πλευρά είναι σταθερός και ίσος με την διάμετρο του περιγεγραμμένου κύκλου, δηλαδή με ${\displaystyle 2R}$.

Απόδειξη

Για την ισότητα λόγων

Ύψος ${\displaystyle \mathrm {AH_{A}} }$ του τριγώνου ${\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } }$ που αντιστοιχεί στην κορυφή ${\displaystyle \mathrm {A} }$. Θα ξεκινήσουμε αποδεικνύοντας ότι ${\displaystyle {\frac {\alpha }{\sin {\rm {A}}}}={\frac {\beta }{\sin {\rm {B}}}}={\frac {\gamma }{\sin {\rm {\Gamma }}}},}$ χρησιμοποιώντας διαφορετικές εκφράσεις για τα ύψη του ${\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } }$. Έστω ${\displaystyle {\rm {AH_{A}}}}$ το ύψος που αντιστοιχεί στην κορυφή ${\displaystyle \mathrm {A} }$. Τότε στο ορθογώνιο τρίγωνο ${\displaystyle \mathrm {AH_{A}B} }$, από τον ορισμό του ημιτόνου ${\displaystyle \sin \mathrm {B} }$, έχουμε ότι ${\displaystyle \sin {\rm {B}}={\frac {\mathrm {AH_{A}} }{\gamma }}\Rightarrow \mathrm {AH_{A}} =\gamma \sin {\rm {B}}}$. (1) Αντίστοιχα, στο ${\displaystyle \mathrm {AH_{A}\Gamma } }$, έχουμε ότι ${\displaystyle \sin {\rm {\Gamma }}={\frac {\mathrm {AH_{A}} }{\beta }}\Rightarrow \mathrm {AH_{A}} =\beta \sin {\rm {\Gamma }}}$. (2) Συνδυάζοντας τις (1) και (2), έχουμε ότι ${\displaystyle \gamma \sin {\rm {B}}=\beta \sin {\rm {\Gamma }}\Rightarrow {\frac {\beta }{\sin {\rm {B}}}}={\frac {\gamma }{\sin {\rm {\Gamma }}}}}$. Αντίστοιχα για το ύψος ${\displaystyle {\rm {BB'}}}$, λαμβάνουμε ότι ${\displaystyle a\sin {\rm {\Gamma }}=\gamma \sin {\rm {A}}\Rightarrow {\frac {\alpha }{\sin {\rm {A}}}}={\frac {\gamma }{\sin {\rm {\Gamma }}}}}$, και έτσι έπεται το ζητούμενο. ${\displaystyle \square }$

Για την ισότητα με την διάμετρο

Το τρίγωνο ${\displaystyle \mathrm {B\Gamma \Delta } }$ όπου ${\displaystyle \mathrm {B\Delta } =2R}$. Αρκεί να δείξουμε ότι ${\displaystyle {\tfrac {\alpha }{\sin {\rm {A}}}}=2R}$. Θεωρούμε την κάθετη από το ${\displaystyle {\rm {\Gamma }}}$ στην ${\displaystyle {\rm {B\Gamma }}}$ και ${\displaystyle \Delta }$ το σημείο που τέμνεται με τον περιγεγραμμένο κύκλο του ${\displaystyle {\rm {AB\Gamma }}}$. Χρησιμοποιώντας την ισότητα των λόγων του νόμου των ημιτόνων (που αποδείξαμε παραπάνω) στο τρίγωνο ${\displaystyle {\rm {A\Delta B}}}$, έχουμε ότι ${\displaystyle {\frac {\rm {B\Gamma }}{\sin {\rm {B\Delta \Gamma }}}}={\frac {\rm {B\Delta }}{\sin {\rm {B\Gamma \Delta }}}}}$. Αφού η ${\displaystyle {\widehat {\rm {B\Delta \Gamma }}}}$ βαίνει στο ίδιο τόξο με την ${\displaystyle {\widehat {\rm {BA\Gamma }}}}$ έχουμε ότι ${\displaystyle {\widehat {\rm {B\Delta \Gamma }}}={\widehat {\rm {BA\Gamma }}}={\hat {\rm {A}}}}$. Επίσης αφού ${\displaystyle {\widehat {\rm {\Delta \Gamma B}}}=90^{\circ }}$, ισχύει ότι ${\displaystyle \mathrm {B\Delta } =2R}$. Συνεπώς, ${\displaystyle {\frac {\alpha }{\sin {\rm {A}}}}={\frac {\rm {B\Gamma }}{\sin {\rm {B\Delta \Gamma }}}}={\frac {\rm {B\Delta }}{\sin {\rm {B\Gamma \Delta }}}}={\frac {2R}{\sin 90^{\circ }}}=2R.}$ ${\displaystyle \square }$

Περαιτέρω ανάγνωση

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Νόμος ημιτόνων και συνημιτόνων στο Cut the Knot.
• Διαδραστική εφαρμογή του νόμου των ημιτόνων στο Φωτόδεντρο.
• Διαδραστική εφαρμογή του νόμου των ημιτόνων στο Geogebra

Ελληνικά άρθρα

• Θ. Ξένος (1988). «Αποδείξεις γεωμετρικών προτάσεων με τη βοήθεια των νόμων ημιτόνων και συνημιτόνων». Ευκλείδης Β΄ (3): 32-34. http://niobe.hms.gr/apothema/?s=sa&i=3215.

Ξενόγλωσσα άρθρα

• Viher, Radimir; Viher, Dragutin; Koncul, Helena (Μαρτίου 2021). «Applications of the sine and cosine rules for a quadrilateral». The Mathematical Gazette 105 (562): 70–77. doi:10.1017/mag.2021.9.
• Kershner, R. B. (Μαΐου 1971). «The Law of Sines and Law of Cosines for Polygons». Mathematics Magazine 44 (3): 150–153. doi:10.1080/0025570X.1971.11976127. https://archive.org/details/sim_mathematics-magazine_1971-05_44_3/page/150.
• Grinberg, Eric L.; Orhon, Mehmet (7 Φεβρουαρίου 2021). «Morley Trisectors and the Law of Sines with Reflections». The American Mathematical Monthly 128 (2): 163–167. doi:10.1080/00029890.2021.1845559.
• Mahoney, John F. (Φεβρουαρίου 2005). «Benjamin Banneker and the Law of Sines». The Mathematics Teacher 98 (6): 390–393. doi:10.5951/MT.98.6.0390. https://archive.org/details/sim_mathematics-teacher_2005-02_98_6/page/390.
• Mitchell, Douglas W. (Μαρτίου 2009). «93.10 A Heron-type area formula in terms of sines». The Mathematical Gazette 93 (526): 108–109. doi:10.1017/S002555720018430X. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_2009-03_93_526/page/108.

Δείτε επίσης

• Νόμος των συνημιτόνων
• Νόμος των εφαπτομένων
• Τριγωνομετρία
• Περιγεγραμμένος κύκλος τριγώνου