Νόμος των εφαπτομένων

Στην γεωμετρία, ο νόμος των εφαπτομένων σε ένα τρίγωνο ${\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } }$ είναι η σχέση^[1][2][3]

${\displaystyle {\frac {\alpha -\beta }{\alpha +\beta }}={\frac {\tan \left({\tfrac {1}{2}}({\hat {\rm {A}}}-{\hat {\rm {B}}})\right)}{\tan \left({\tfrac {1}{2}}({\hat {\rm {A}}}+{\hat {\rm {B}}})\right)}}}$,

Τρίγωνο με πλευρές ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$ και κορυφές ${\displaystyle \mathrm {A} ,\mathrm {B} ,\mathrm {\Gamma } }$.

όπου ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ οι πλευρές απέναντι από τις γωνίες ${\displaystyle {\hat {\rm {A}}}}$ και ${\displaystyle {\hat {\rm {B}}}}$.

Αποδείξεις

Απόδειξη με νόμο των ημιτόνων

Θα χρησιμοποιήσουμε τον νόμο των ημιτόνων που λέει ότι ${\displaystyle {\frac {\alpha }{\sin {\hat {\mathrm {A} }}}}={\frac {\beta }{\sin {\hat {\mathrm {B} }}}}=d,}$ όπου ${\displaystyle d}$ η διάμετρος του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου. Από εδώ προκύπτει ότι ${\displaystyle \alpha =d\sin {\hat {\mathrm {A} }}}$, (1) και ${\displaystyle \beta =d\sin {\hat {\mathrm {B} }}}$. (2) Επίσης θα χρησιμοποιήσουμε τους τριγωνομετρικούς τύπους για το άθροισμα και την διαφορά δύο ημιτόνων ${\displaystyle \sin {\hat {\rm {A}}}+\sin {\hat {\rm {B}}}=2\sin \left({\tfrac {1}{2}}\cdot ({\hat {\rm {A}}}+{\hat {\rm {B}}})\right)\cdot \cos \left({\tfrac {1}{2}}\cdot ({\hat {\rm {A}}}-{\hat {\rm {B}}})\right)\quad }$ (3) και ${\displaystyle \sin {\hat {\rm {A}}}-\sin {\hat {\rm {B}}}=2\sin \left({\tfrac {1}{2}}\cdot ({\hat {\rm {A}}}-{\hat {\rm {B}}})\right)\cdot \cos \left({\tfrac {1}{2}}\cdot ({\hat {\rm {A}}}+{\hat {\rm {B}}})\right)}$. (4) Για να αποδείξουμε τον νόμο των εφαπτομένων ξεκινάμε από το αριστερό μέλος και χρησιμοποιούμε τις σχέσεις (1) και (2), ${\displaystyle {\frac {\alpha -\beta }{\alpha +\beta }}={\frac {d\sin {\hat {\rm {A}}}-d\sin {\hat {\rm {B}}}}{d\sin {\hat {\rm {A}}}+d\sin {\hat {\rm {B}}}}}={\frac {\sin {\hat {\rm {A}}}-\sin {\hat {\rm {B}}}}{\sin {\hat {\rm {A}}}+\sin {\hat {\rm {B}}}}}.}$ Τέλος, χρησιμοποιώντας τις σχέσεις (3) και (4), έχουμε ότι ${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\alpha -\beta }{\alpha +\beta }}&={\frac {2\sin \left({\tfrac {1}{2}}\cdot ({\hat {\rm {A}}}-{\hat {\rm {B}}})\right)\cdot \cos \left({\tfrac {1}{2}}\cdot ({\hat {\rm {A}}}+{\hat {\rm {B}}})\right)}{2\sin \left({\tfrac {1}{2}}\cdot ({\hat {\rm {A}}}+{\hat {\rm {B}}})\right)\cdot \cos \left({\tfrac {1}{2}}\cdot ({\hat {\rm {A}}}-{\hat {\rm {B}}})\right)}}\\&={\frac {\sin \left({\tfrac {1}{2}}\cdot ({\hat {\rm {A}}}-{\hat {\rm {B}}})\right)/\cos \left({\tfrac {1}{2}}\cdot ({\hat {\rm {A}}}-{\hat {\rm {B}}})\right)}{\sin \left({\tfrac {1}{2}}\cdot ({\hat {\rm {A}}}+{\hat {\rm {B}}})\right)/\cos \left({\tfrac {1}{2}}\cdot ({\hat {\rm {A}}}+{\hat {\rm {B}}})\right)}}\\&={\frac {\tan \left({\tfrac {1}{2}}({\hat {\rm {A}}}-{\hat {\rm {B}}})\right)}{\tan \left({\tfrac {1}{2}}({\hat {\rm {A}}}+{\hat {\rm {B}}})\right)}},\end{aligned}}}$ που ολοκληρώνει την απόδειξη.

Απόδειξη με τύπους Mollweide

Οι τύποι Mollweide είναι οι εξής ${\displaystyle {\frac {\alpha -\beta }{\gamma }}\cdot \cos {\frac {\hat {\rm {\Gamma }}}{2}}=\sin \left({\tfrac {1}{2}}({\hat {\rm {A}}}-{\hat {\rm {B}}})\right)}$, και ${\displaystyle {\frac {\alpha +\beta }{\gamma }}\cdot \sin {\frac {\hat {\rm {\Gamma }}}{2}}=\cos \left({\tfrac {1}{2}}({\hat {\rm {A}}}-{\hat {\rm {B}}})\right)}$. Διαιρώντας και τους δύο τύπους κατά μέλη, έχουμε ότι ${\displaystyle {\frac {\alpha -\beta }{\alpha +\beta }}\cdot \cot {\frac {\hat {\rm {\Gamma }}}{2}}=\tan \left({\tfrac {1}{2}}({\hat {\rm {A}}}-{\hat {\rm {B}}})\right)}$. Αφού ${\displaystyle {\hat {\mathrm {A} }},{\hat {\mathrm {B} }},{\hat {\mathrm {\Gamma } }}}$ είναι γωνίες τριγώνου έχουμε ότι ${\displaystyle {\hat {\rm {\Gamma }}}=\pi -({\hat {\rm {A}}}+{\hat {\rm {B}}})}$. Χρησιμοποιώντας ότι ${\displaystyle \tan \varphi =\tan(\pi -\varphi )}$, λαμβάνουμε ότι ${\displaystyle {\frac {\alpha -\beta }{\alpha +\beta }}={\frac {\tan \left({\tfrac {1}{2}}({\hat {\rm {A}}}-{\hat {\rm {B}}})\right)}{\tan \left({\tfrac {1}{2}}({\hat {\rm {A}}}+{\hat {\rm {B}}})\right)}}}$.

Απόδειξη χωρίς λόγια

Μία απόδειξη χωρίς λόγια είχε δοθεί από τον Rex H. Wu[4]

Δείτε επίσης

• Νόμος των ημιτόνων
• Νόμος των συνημιτόνων

Παραπομπές

1. Τόγκας, Πέτρος Γ. Ευθύγραμμος Τριγωνομετρίας. Αθήνα: Πέτρου Γ. Τογκα. σελίδες 236–237.
2. Τόγκας, Πέτρος Γ. Ασκήσεις και προβλήματα ριγωνομετρίας. Αθήνα: Πέτρου Γ. Τογκα. σελ. 103.
3. Παπατριανταφύλλου, Ε. (1974). Μαθηματικά ΣΤ' Γυμνασίου (Θετικής κατευθύνσεως) Τριγωνομετρία. Αθήνα: Οργανισμός Εκδόσεων Διδακτικών Βιβλίων. σελ. 65.
4. Wu, Rex H. (Απριλίου 2001). «Proof Without Words: The Law of Tangents». Mathematics Magazine 74 (2): 161–161. doi:https://doi.org/10.1080/0025570X.2001.11953056. https://www.geocities.ws/galois_e/pdf/tangents.pdf.