Άτλας (τοπολογία)

Στα μαθηματικά, ειδικότερα στην τοπολογία, μια πολλαπλότητα περιγράφεται χρησιμοποιώντας τον άτλαντα. Ένας άτλας αποτελείται από μεμονωμένους χάρτες που, σε γενικές γραμμές περιγράφουν μεμονωμένες περιοχές της πολλαπλότητας. Αν η πολλαπλότητα είναι η επιφάνεια της Γης, τότε ο άτλας έχει την κοινή του έννοια. Σε γενικές γραμμές, η έννοια του άτλαντα αποτελεί τη βάση για τον επίσημο ορισμό της πολλαπλότητας.

Για άλλες χρήσεις, δείτε: Άτλας.

Επίσημος ορισμός του άτλαντα

Ένας άτλας σε έναν τοπολογικό χώρο M είναι μια συλλογή ${\displaystyle \{(U_{\alpha },\varphi _{\alpha })\}}$ χαρτών στο M έτσι ώστε ${\displaystyle \bigcup U_{\alpha }=M}$. Αν η εικόνα του άτλαντα είναι ο ν-διάστατος Ευκλείδειος χώρος, τότε ο χώρος M λέγεται ν-διάστατη πολλαπλότητα.

Ισοδυναμία ατλάντων

Δύο άτλαντες Α,Β της κλάσης διαφορισιμότητας ${\displaystyle C^{k}}$ λέγονται ισοδύναμοι αν και μόνο αν η ένωσή τους είναι άτλας της ίδιας κλάσης διαφορισιμότητας ${\displaystyle C^{k}}$

Χάρτες

Ο ορισμός του άτλαντα εξαρτάται από την έννοια του χάρτη. Ένας χάρτης για έναν τοπολογικό χώρο M είναι ένας ομοιομορφισμός ${\displaystyle \varphi }$ από ένα ανοιχτό υποσύνολο U του M σε ένα ανοιχτό υποσύνολο του Ευκλείδειου χώρου. Ο χάρτης γράφεται ως το διατεταγμένο ζεύγος ${\displaystyle (U,\varphi )}$, όπου το σύνολο U ονομάζεται πεδίο του χάρτη.

Χάρτες μετάβασης

Ένας χάρτης μετάβασης παρέχει έναν τρόπο σύγκρισης δύο χαρτών ενός άτλαντα. Για να γίνει η σύγκριση αυτή, θεωρούμε τη σύνθεση του ενός χάρτη με την αντίστροφη του άλλου.

Για να γίνουμε πιο σαφείς, υποθέτουμε ότι ${\displaystyle (U_{\alpha },\varphi _{\alpha })}$ και ${\displaystyle (U_{\beta },\varphi _{\beta })}$ είναι δύο χάρτες μια πολλαπλότητας M έτσι ώστε η τομλη ${\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }}$ να είναι διάφορη του κενού. Ο χάρτης μετάβασης ${\displaystyle \tau _{\alpha ,\beta }}$ είναι ο χάρτης που ορίζεται στην τομή ${\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }}$ με

${\displaystyle \tau _{\alpha ,\beta }=\varphi _{\beta }\circ \varphi _{\alpha }^{-1}.}$

Σημειώνεται ότι αφού ${\displaystyle \varphi _{\alpha }}$ και ${\displaystyle \varphi _{\beta }}$ είναι ομοιομορφισμοί, ο χάρτης μετάβασης ${\displaystyle \tau _{\alpha ,\beta }}$ είναι επίσης ομοιομορφισμός.

Περισσότερη δομή

Συχνά είναι επιθυμητή περισσότερη δομή σε μία πολλαπλότητα από την τοπολογική δομή. Για παράδειγμα αν κάποιος ήθελε μια σαφή έννοια της διαφόρισης συναρτήσεων σε μία πολλαπλότητα, θα ήταν απαραίτητο να κατασκευαστεί ένας άτλας του οποίου οι συναρτήσεις μετάβασης θα είναι διαφορίσιμες. Τότε μπορεί να οριστεί σαφώς η έννοια του εφαπτόμενου διανύσματος και στη συνέχεια της κατευθυνόμενης παραγώγου.

Αν κάθε συνάρτηση μετάβασης είναι λεία τότε ο άτλας ονομάζεται λείος άτλας. Αν ο χάρτης μετάβασης έχει μόνο k συνεχείς παραγώγους τότε ο άτλας συμβολίζεται ${\displaystyle C^{k}}$.

Αν κάθε συνάρτηση μετάβασης ανήκει σε μια ψευδο-ομάδα ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ομοιομορφισμών του Ευκλείδειου χώρου, τότε ο άτλας λέγεται ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$-άτλας.

Αναφορές

• Lee, John M. (2006). Introduction to Smooth Manifolds. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-95448-6.
• Sepanski, Mark R. (2007). Compact Lie Groups. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-30263-8.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Atlas by Rowland, Todd