![cover image](https://wikiwandv2-19431.kxcdn.com/_next/image?url=https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0d/Red_blue_circle.svg/langel-640px-Red_blue_circle.svg.png&w=640&q=50)
Ανοικτό σύνολο
From Wikipedia, the free encyclopedia
Στα μαθηματικά, και πιο συγκεκριμένα στην τοπολογία, ένα ανοικτό σύνολο είναι μια αφηρημένη έννοια που γενικεύει την ιδέα ενός ανοικτού διαστήματος στην πραγματική γραμμή. Το απλούστερο παράδειγμα είναι στους μετρικούς χώρους όπου ανοικτά σύνολα μπορούν να οριστούν ως εκείνα τα σύνολα που περιέχουν μια σφαίρα γύρω από κάθε ένα από τα σημεία τους (ή, ισοδύναμα, ένα σετ είναι ανοιχτό αν δεν περιέχει κανένα από τα όρια του). Ωστόσο, ένα ανοιχτό σύνολο γενικά μπορεί να είναι πολύ αφηρημένο: κάθε συλλογή συνόλων μπορεί να ονομαστεί ανοιχτή, αρκεί να είναι ανοιχτή η ένωση ενός αυθαίρετου αριθμού ανοιχτών συνόλων, η τομή ενός πεπερασμένου αριθμού ανοιχτών συνόλων είναι ανοικτή, και ο ίδιος ο χώρος είναι ανοιχτός. Αυτές οι συνθήκες είναι πολύ χαλαρές και επιτρέπουν τεράστια ευελιξία στην επιλογή των ανοικτών συνόλων. Στις δύο ακραίες περιπτώσεις, κάθε σετ μπορεί να είναι ανοιχτό (που ονομάζεται διακριτή τοπολογία), ή κανένα σύνολο δεν μπορεί να είναι ανοιχτό εκτός από τον ίδιο τον χώρο και το κενό σύνολο (η αδιάκριτη τοπολογία).
![]() |
Το λήμμα παραθέτει τις πηγές του αόριστα, χωρίς παραπομπές. |
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0d/Red_blue_circle.svg/220px-Red_blue_circle.svg.png)
Στην πράξη, ωστόσο, τα ανοιχτά σύνολα επιλέγονται συνήθως να είναι παρόμοια με τα ανοιχτά διαστήματα της πραγματικής γραμμής. Η έννοια ενός ανοιχτού συνόλου παρέχει έναν θεμελιώδη τρόπο στο να μιλάμε για την εγγύτητα των σημείων σε ένα τοπολογικό χώρο, χωρίς να έχουμε ρητά οριστεί μια έννοια της απόστασης. Μόλις γίνει μια επιλογή ανοιχτών συνόλων, οι ιδιότητες της συνέχειας, της συνεκτικότητας και της συμπάγειας, οι οποίες χρησιμοποιούν τις έννοιες της εγγύτητας, μπορούν να οριστούν χρησιμοποιώντας αυτά τα ανοικτά σύνολα.
Κάθε επιλογή ανοιχτών συνόλων για έναν χώρο ονομάζεται τοπολογία. Παρόλο που τα ανοιχτά σύνολα και οι τοπολογίες που συνιστούν έχουν κεντρική σημασία στην γενική τοπολογία, χρησιμοποιούνται επίσης ως οργανωτικό εργαλείο σε άλλους σημαντικούς κλάδους των μαθηματικών. Παραδείγματα τοπολογιών περιλαμβάνουν την τοπολογία Ζαρίσκι στην αλγεβρική γεωμετρία που αντικατοπτρίζει την αλγεβρική φύση των ποικιλιών και την τοπολογία σε μια διαφορική πολλαπλότητα στη διαφορική τοπολογία όπου κάθε σημείο εντός του χώρου περιέχεται σε ένα ανοιχτό σύνολο που είναι ομοιομορφικό με μια ανοιχτή μπάλα σε ένα ευκλείδειο χώρο πεπερασμένης διάστασης.