Αλγεβρική ποικιλία
From Wikipedia, the free encyclopedia
Οι αλγεβρικές ποικιλίες είναι το κεντρικό αντικείμενο μελέτης στην αλγεβρική γεωμετρία. Κλασσικά, μια αλγεβρική ποικιλία ορίζεται ως το σύνολο των λύσεων ενός πολυωνυμικού συστήματος εξισώσεων πάνω στο πραγματικό επίπεδο ή μιγαδικό επίπεδο. Μοντέρνοι ορισμοί γενικεύουν αυτή την έννοια με πολλούς διαφορετικούς τρόπους, ενώ ταυτόχρονα προσπαθεί να διατηρήσει την γεωμετρική διαίσθηση πίσω από τον αρχικό ορισμό.
![]() |
Το λήμμα παραθέτει τις πηγές του αόριστα, χωρίς παραπομπές. |
Οι συμβάσεις που αφορούν τον ορισμό της αλγεβρικής ποικιλίας διαφέρουν ελαφρώς. Για παράδειγμα, μερικοί ορισμοί οδηγούν στο συμπέρασμα ότι η αλγεβρική ποικιλία είναι αμείωτη, πράγμα που σημαίνει ότι δεν είναι η ένωση των δύο μικρότερων συνόλων που είναι κλειστά στην Τοπολογία Ζαρίσκι. Σύμφωνα με τον ορισμό αυτό, μη αμείωτες αλγεβρικές ποικιλίες ονομάζονται αλγεβρικά σύνολα. Σύμφωνα με άλλες συμβάσεις δεν απαιτούν παραγώγιση. Η έννοια της αλγεβρικής ποικιλίας είναι παρόμοια με εκείνη της αναλυτικής πολλαπλότητας.Μια σημαντική διαφορά είναι ότι μια αλγεβρική ποικιλία μπορεί να έχει μεμονωμένα σημεία, ενώ μια πολλαπλή δεν μπορεί.
Η έννοια της αλγεβρικής ποικιλίας είναι παρόμοια με εκείνη της αναλυτική πολλαπλότητας. Μια σημαντική διαφορά είναι ότι η αλγεβρική ποικιλία μπορεί να έχει μεμονωμένα σημεία ενώ στην αναλυτική πολλαπλότητα κάτι τέτοιο δεν είναι εφικτό.
Το θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας εγκαθιστά μια σύνδεση μεταξύ της άλγεβρας και της γεωμετρίας με το να δείξει ότι ένα monic πολυώνυμο (ένα αλγεβρικό αντικείμενο) σε μια μεταβλητή με σύνθετους αριθμούς συντελεστές καθορίζεται από το σύνολο των ριζών του (ένα γεωμετρικό αντικείμενο)στο καρτεσιανό επίπεδο. Γενικεύοντας αυτό το αποτέλεσμα, το Θεώρηµα των μηδενικών του Χίλμπερτ (Nullstellensatz Hilbert) παρέχει μια θεμελιώδη αλληλεπίδραση μεταξύ των υποσυνόλων των πολυωνυμικών δακτυλίων και των αλγεβρικών συνόλων. Χρησιμοποιώντας το Θεώρηµα των Μηδενικών και τα σχετικά αποτελέσματα, οι μαθηματικοί έχουν καθιερώσει μια ισχυρή σύνδεση μεταξύ των ερωτήσεων στα αλγεβρικά σύνολα και των θεμάτων της θεωρίας δακτυλίων. Αυτή η σύνδεση είναι η ιδιομορφία της αλγεβρικής γεωμετρίας.