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Die zyklische Gruppe vom Grad 2 ( oder ) ist die kleinste nichttriviale Gruppe in der Gruppentheorie und damit die kleinste endliche einfache Gruppe. Sie ist isomorph zur symmetrischen Gruppe , zur ersten Diedergruppe und zur orthogonalen Gruppe im Eindimensionalen.

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Eigenschaften

Da die Gruppe abelsch ist, schreibt man die Verknüpfung gerne additiv mit 0 als neutralem Element und 1 als dem zweiten Element der Gruppe. Diese Schreibweise wird durch Herkunft als Faktorgruppe der additiven Gruppe der ganzen Zahlen nahegelegt. Die Verknüpfungstafel dieser Gruppe lautet:

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0 1
0 01
1 10
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Die Operation dieser Gruppe kann mannigfaltig interpretiert werden, wie zum Beispiel als XOR-Verknüpfung. Eine multiplikative Sicht ergibt sich daraus, dass die Gruppe der invertierbaren Elemente des endlichen Körpers isomorph zu ist, man erhält folgende multiplikative Verknüpfungstafel, bei 1 das neutrale Element ist:

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1 2
1 12
2 21
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Eine weitere Realisierung erhält man als Einheitengruppe des Ringes . Diese ist und man erhält die Verknüpfungstafel

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1 −1
1 1−1
−1 −11
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Die zyklische Gruppe vom Grad 2 ist die einzige Gruppe mit der Ordnung 2.

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ℤ2 als Untergruppe

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Darstellungen

Jede nichttriviale Darstellung der bildet das nichttriviale Element auf eine Involution ab, umgekehrt definiert jede lineare Involution eine Darstellung der .

Im Fall reeller Vektorräume ist jede lineare Involution eine Spiegelung, die Darstellungen der entsprechen also den Spiegelungen an Untervektorräumen beliebiger Dimension.

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ℤ2 als Körper

Die Gruppe mit der oben angegebenen Verknüpfung + ist die additive Gruppe eines Körpers. Die dazu nötige Multiplikation auf ist durch die Verknüpfungstafel

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0 1
0 00
1 01
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gegeben. Beachte, dass mit dieser Multiplikation keine Gruppe bildet. Die beiden Verknüpfungen und zusammen machen zu einem Körper, den man dann nach dem englischen Wort field für Körper gerne mit oder bezeichnet.

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Siehe auch

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