Volumenformel des allgemeinen Tetraeders

Die Volumenformel des allgemeinen Tetraeders ist eine mathematische Formel der Stereometrie. Sie wurde von Leonhard Euler (1707–1793) in dessen berühmter Abhandlung E 231 (Demonstratio nonnullarum insignium proprietatum quibus solida hederis planis inclusa sunt praedita.) angegeben.^[1][2] Euler behandelt und löst unter Punkt 20 dieser Abhandlung das Problem, eine Formel für das Volumen des allgemeinen Tetraeders allein unter Bezug auf die Längen der sechs Tetraederkanten anzugeben.^[3] Der Volumenformel des allgemeinen Tetraeders liegt also die gleiche Aufgabenstellung zugrunde wie der zur Formel von Heron in der Dreiecksgeometrie.

Die Eulerformel

Gegeben sei ein Tetraeder ${\displaystyle {\mathcal {T}}\subset \mathbb {R} ^{3}}$, also eine Pyramide mit dreieckiger Grundfläche. Die zur dreieckigen Grundfläche gehörigen ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$-Kanten seien mit ${\displaystyle a,\,b,\,c}$ bezeichnet und die im Raum gegenüberliegenden drei ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$-Kanten mit ${\displaystyle a^{'},\,b^{'},\,c^{'}}$ .

Weiter sei für jede ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$-Kanten ${\displaystyle x}$ die Länge dieser Kante mit ${\displaystyle |x|}$ bezeichnet.

Dann gilt für das Tetraedervolumen ${\displaystyle V=V({\mathcal {T}})}$:

${\displaystyle V={\tfrac {1}{12}}\cdot {\sqrt {|a|^{2}\cdot |a^{'}|^{2}\cdot f_{a}+|b|^{2}\cdot |b^{'}|^{2}\cdot f_{b}+|c|^{2}\cdot |c^{'}|^{2}\cdot f_{c}-\delta }}}$

mit

${\displaystyle f_{a}=|b|^{2}+|b^{'}|^{2}+|c|^{2}+|c^{'}|^{2}-|a|^{2}-|a^{'}|^{2}}$

${\displaystyle f_{b}=|a|^{2}+|a^{'}|^{2}+|c|^{2}+|c^{'}|^{2}-|b|^{2}-|b^{'}|^{2}}$

${\displaystyle f_{c}=|a|^{2}+|a^{'}|^{2}+|b|^{2}+|b^{'}|^{2}-|c|^{2}-|c^{'}|^{2}}$

${\displaystyle \delta =|a|^{2}\cdot |b|^{2}\cdot |c|^{2}+|a|^{2}\cdot |b^{'}|^{2}\cdot |c^{'}|^{2}+|a^{'}|^{2}\cdot |b|^{2}\cdot |c^{'}|^{2}+|a^{'}|^{2}\cdot |b^{'}|^{2}\cdot |c|^{2}}$

Vereinfachte Eulerformel bei Gleichschenkligkeit und Regularität

Für gleichschenkliges Tetraeder gilt ${\displaystyle |x|=|x^{'}|}$ bei jeder der sechs ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$-Kanten ${\displaystyle x}$. Hier vereinfacht sich die Eulerformel wie folgt:^[4]

${\displaystyle V={\tfrac {\sqrt {2}}{12}}\cdot {\sqrt {(|b|^{2}+|c|^{2}-|a|^{2})\cdot (|a|^{2}+|c|^{2}-|b|^{2})\cdot (|a|^{2}+|b|^{2}-|c|^{2})}}}$ ^[5]

Hieraus ergibt sich unmittelbar die bekannte Volumenformel für das reguläre Tetraeder:

${\displaystyle V={\tfrac {\sqrt {2}}{12}}\cdot |a|^{3}}$ ^[6]

Vereinfachte Eulerformel bei rechtwinkligen Tetraedern

Für rechtwinklige Tetraeder gilt der Satz des Pythagoras ${\displaystyle |a|^{2}=|b^{'}|^{2}+|c^{'}|^{2}}$ usw. bei jeder der drei ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$-Kanten ${\displaystyle a,\,b,\,c}$ der Grundfläche. Hier vereinfacht sich die Eulerformel mit dem Spatprodukt der gegenüberliegenden Kanten ${\displaystyle (a^{'},b^{'},c^{'})}$ zu:

${\displaystyle V={\tfrac {1}{6}}\cdot |(a^{'},b^{'},c^{'})|={\tfrac {1}{6}}\cdot |a^{'}||b^{'}||c^{'}|}$.

Determinantendarstellung

Zur Darstellung des Tetraedervolumens ${\displaystyle V=V({\mathcal {T}})}$ lassen sich in eleganter Weise auch die folgenden Identitäten benutzen, welche auf Determinanten symmetrischer Matrizen beruhen:^[7][8][9]

${\displaystyle {\begin{aligned}288\cdot V^{2}&=\det {\begin{pmatrix}0&|c|^{2}&|b|^{2}&|a^{'}|^{2}&1\\|c|^{2}&0&|a|^{2}&|b^{'}|^{2}&1\\|b|^{2}&|a|^{2}&0&|c^{'}|^{2}&1\\|a^{'}|^{2}&|b^{'}|^{2}&|c^{'}|^{2}&0&1\\1&1&1&1&0\\\end{pmatrix}}\\&=\det {\begin{pmatrix}2|c|^{2}&|c|^{2}+|b|^{2}-|a|^{2}&|c|^{2}+|a^{'}|^{2}-|b^{'}|^{2}\\|c|^{2}+|b|^{2}-|a|^{2}&2|b|^{2}&|b|^{2}+|a^{'}|^{2}-|c^{'}|^{2}\\|c|^{2}+|a^{'}|^{2}-|b^{'}|^{2}&|b|^{2}+|a^{'}|^{2}-|c^{'}|^{2}&2|a^{'}|^{2}\\\end{pmatrix}}\\\end{aligned}}}$

Die dabei zuerst auftretende Determinante nennt man (nach den beiden Mathematikern Arthur Cayley und Karl Menger) auch eine Cayley–Menger-Determinante.

Anwendung der Cayley-Menger-Determinante

Die Cayley-Menger-Determinantendarstellung des Tetraedervolumens kann herangezogen werden, um einen klassischen Lehrsatz von Leonhard Euler zu formulieren, nämlich den sogenannten Vierpunktesatz von Euler:^[10]

Vier (nicht notwendig voneinander verschiedene) Raumpunkte ${\displaystyle P_{1},P_{2},P_{3},P_{4}}$ liegen genau dann in einer Ebene, wenn die Beziehung

${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}0&a_{12}^{2}&a_{13}^{2}&a_{14}^{2}&1\\a_{12}^{2}&0&a_{23}^{2}&a_{24}^{2}&1\\a_{13}^{2}&a_{23}^{2}&0&a_{34}^{2}&1\\a_{14}^{2}&a_{24}^{2}&a_{34}^{2}&0&1\\1&1&1&1&0\\\end{pmatrix}}=0}$

gilt, wobei ${\displaystyle a_{ij}=a_{ji}\;(i,j=1,2,3,4)}$ jeweils den euklidischen Abstand der Punkte ${\displaystyle P_{i}}$ und ${\displaystyle P_{j}}$ bezeichnet.

Die Aussage des eulerschen Vierpunktesatzes ist demnach die folgende:

Vier Raumpunkte liegen genau dann in einer Ebene, wenn das von ihnen gebildete Tetraeder ${\displaystyle {\mathcal {T}}={\mathcal {T}}(P_{1},P_{2},P_{3},P_{4})\subset \mathbb {R} ^{3}}$ ausgeartet ist und damit das Volumen ${\displaystyle V({\mathcal {T}})=0}$ hat.

Literatur

Originalarbeiten

• Leonhard Euler: Demonstratio nonnullarum insignium proprietatum quibus solida hederis planis inclusa sunt praedita. In: Novi commentarii academiae scientiarum Petropolitanae (1752/53). Band 4, 1753, S. 140–160.

Monographien

• Nathan Altshiller-Court: Modern Pure Solid Geometry. 2. Auflage. Chelsea Publishing, Bronx NY 1964, OCLC 1597161.
• György Hajós: Einführung in die Geometrie. B. G. Teubner Verlag, Leipzig (ungarisch: Bevezetés A Geometriába. Übersetzt von G. Eisenreich [Leipzig, auch Redaktion]).
• Maximilian Miller: Stereometrie (Sammlung Crantz). B. G. Teubner Verlag, Leipzig 1957.
• Alexander Ostermann, Gerhard Wanner: Geometry by Its History (= Undergraduate Texts in Mathematics. Readings in Mathematics). Springer Verlag, Heidelberg / New York / Dordrecht / London 2012, ISBN 978-3-642-29162-3, doi:10.1007/978-3-642-29163-0 (MR2918594).
• Andreas Speiser et al. (Redaktion): Leonhardi Euleri Opera omnia. Series prima. Opera mathematica. Volumen XXVI: Commentationes geometricae. Volumen I. Orell Füssli, Zürich 1953.