Eine taktische Zerlegung[1] (engl.: tactical decomposition[2][3]) ist in der endlichen Geometrie eine Partitionierung der Punkt- und der Blockmenge eines 2-Blockplanes in Punkt- und Blockklassen derart, dass jedes aus einer dieser Punktklassen und einer dieser Blockklassen bestehende Paar mit der induzierten Inzidenz eine taktische Konfiguration bildet. Eine solche Zerlegung kann als Verallgemeinerung der Auflösung eines Blockplanes angesehen werden: Anders als im Falle einer Auflösung, bei der man nur die Blockmenge in (verallgemeinerte „Parallelen“-)Scharen partitioniert, so dass auch hier die ursprüngliche Punktmenge mit jeder der Blockklassen (Scharen) eine taktische Konfiguration bildet, teilt man bei einer taktischen Zerlegung im Allgemeinen zusätzlich noch die Punktmenge in mehrere Punktklassen auf.
Taktische Zerlegung
Sei
ein
-Blockplan, sei weiter
eine Partition der Punktmenge
und
eine Partition der Blockmenge
. Man nennt
eine taktische Zerlegung von
, falls jede der Inzidenzstrukturen
![{\displaystyle ({\mathfrak {p}}_{j},{\mathfrak {B}}_{i},I_{\mathrm {Ind} });\;1\leq j\leq d,1\leq i\leq c}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19300d90b50f187f0ca509d15081aa1b17803055)
mit der jeweiligen induzierten Inzidenz
eine taktische Konfiguration ist. Das heißt dann im Einzelnen:
- Es gibt nichtnegative ganze Zahlen
mit den Eigenschaften:
- Durch jeden Punkt von
gehen genau
Blöcke aus
und
- auf jedem Block von
liegen genau
Punkte aus
.
Parameter einer taktischen Zerlegung
- Für eine taktische Zerlegung werden die folgenden Bezeichnungen vereinbart:
,
die Mengen
heißen Punktklassen, die Mengen
heißen Blockklassen der Zerlegung. Die Zahlen
heißen die Parameter der taktischen Zerlegung.
Sei
eine taktische Zerlegung mit den Parametern
des
-Blockplanes
. Dann gilt:[4]
- Für jedes
ist ![{\displaystyle \sum _{i=1}^{c}\rho _{ji}\cdot \kappa _{ji}=\lambda \cdot n_{j}+r-\lambda .}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50b193bacb6c7d5af20def151e0ac03c27d44884)
- Für alle
mit
ist ![{\displaystyle \sum _{i=1}^{c}\rho _{ji}\cdot \kappa _{hi}=\lambda \cdot n_{h}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eab8ea403d6bc9ac9b9f39b8c43041be87ca0b8b)
Darüber hinaus gilt dann:[5]
![{\displaystyle b-v\geq c-d\geq 0.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6df45f9124b4a11f58be9331e9afe7b6652b94af)
Der folgende Satz von Block und Kantor[6][7] besagt, dass bei jeder taktischen Zerlegung die Anzahl der Punktklassen höchstens so groß sein kann wie die Anzahl der Blockklassen und dass bei symmetrischen 2-Blockplänen eine Zerlegung nur bei Gleichheit dieser Klassenzahlen möglich ist:[8]
- Sei
eine taktische Zerlegung des
-Blockplanes
. Dann gilt:
und
- Ist
symmetrisch, so ist ![{\displaystyle c=d.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afd51d36a86e21ac7bf9d905876b8e265f6d5c29)
Der Beweis der zweiten Aussage aus der ersten ergibt sich einfach daraus, dass gilt:
- Ist
ein symmetrischer 2-Blockplan und
eine taktische Zerlegung, dann ist
eine taktische Zerlegung des dualen Blockplanes
![9]
Triviale Zerlegungen
Jeder
-Blockplan
lässt die folgenden beiden trivialen taktischen Zerlegungen zu:
; hier sind beide Partitionierungen trivial.
, wobei jede Punktklasse genau einen Punkt und jede Blockklasse genau einen Block enthält, die „Klassen“ seien jeweils wie ihr einziges Element nummeriert. Bei dieser Partitionierung und mit dieser Nummerierung gilt
![{\displaystyle \rho _{ji}=\kappa _{ji}={\begin{cases}1&((p_{j},B_{i})\in I)\\0&((p_{j},B_{i})\not \in I)\end{cases}}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc5d91a0283ec75114d13af625dce41a0ba26118)
Auflösungen als Zerlegungen
Jede Auflösung
eines Blockplanes entspricht der speziellen taktischen Zerlegung
mit den Parametern ![{\displaystyle \rho _{1i}=\rho _{i},\kappa _{1i}=k;\;1\leq i\leq c.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/550a71dca756e079e65c15d0566662667f27a0d1)
Bahnenzerlegungen
Ist G eine Automorphismengruppe des Blockplanes
, also eine Untergruppe G der vollen Automorphismengruppe
, sind weiter
die Punktbahnen sowie
die Blockbahnen der Operationen von G auf der Punkt- bzw. Blockmenge, dann ist
eine taktische Zerlegung von
.
Die Bahnenzerlegung ist wohl der wichtigste Fall einer Zerlegung. Sie spielt sowohl bei der Konstruktion neuer Blockpläne durch Gruppenerweiterung (von geeigneten Automorphismengruppen), als auch bei der Klassifikation von Blockplänen und deren (vollen) Automorphismengruppen eine wichtige Rolle. Damit sind taktische Zerlegungen auch für die Klassifikation endlicher einfacher Gruppen von gewisser Bedeutung: So sind zum Beispiel die sporadischen Mathieugruppen, volle Automorphismengruppen der Wittschen Blockpläne.
Auch die beiden obengenannten trivialen Zerlegungen lassen sich (gewöhnlich) als spezielle Bahnenzerlegungen auffassen:
- Die erste triviale Zerlegung
mit nur einer Punkt- und Blockklasse entsteht als spezielle Bahnenzerlegung und zwar durch die Operation der vollen Automorphismengruppe
, sofern diese mindestens einfach transitiv auf der Punktmenge und der Blockmenge operiert.
- Die zweite triviale Zerlegung mit
in lauter einelementige Klassen entsteht als spezielle Bahnenzerlegung und zwar durch die Operation der Einsgruppe
.
Artikel zu Einzelfragen
- Richard E. Block: On the orbits of collineation groups. In: Mathematische Zeitschrift. Band 96, 1967, S. 33–49 (web.archive.org [PDF; 905 kB; abgerufen am 5. August 2012]).
- R. G. R. Harris: On automorphisms and resolutions of designs. Dissertation an der Universität London. 1975.
- W. M. Kantor: Automorphism groups of designs. In: Mathematische Zeitschrift. Band 109, 1969, S. 246–252.
- C. W. Norman: A characterization of the Mathieu group M11. In: Mathematische Zeitschrift. Band 106, 1968, S. 162–166.
- H. Beker: On strong tactical decompositions. In: Journal of the London Mathematical Society. Band 16, 1977, S. 191–196.
Lehrbücher
Beth, Jungnickel, Lenz (1986)
Beutelspacher (1982), Lemma 5.2.1
Beutelspacher (1982), Satz 5.2.5
Beutelspacher (1982) Satz 5.2.2
Beutelspacher (1982), S. 213